Algebra, ET/IT WS 2015/2016 2. Übungsserie

Fachbereich Grundlagenwissenschaften
Prof. Dr. H. Dathe
Algebra, ET/IT
WS 2015/2016
2. Übungsserie (Komplexe Zahlen)
1. Geben Sie die Summe, die Differenz, das Produkt und den Quotienten der komplexen Zahlen
u = 3 + 2j und v = 2 − 3j an!
2. Von folgenden komplexen Zahlen bestimme man den Real– und den Imaginärteil!
a)
z=
1
j+1
b) z =
3 + 2j
1+j
c) z = [2 exp(
jπ 18
)]
6
3. Berechnen Sie den Betrag und das Argument der komplexen Zahl!
√
√
a) z = j + 1 b) z = 3 + j c) z = −0.5 + 0.5j 3
4. Bestimmen Sie die kartesische Darstellung für z ∈ C mit
π
a) z = 2ei 2 ,
b) z = e2+i3π .
5. Bestimmen Sie die exponentielle Darstellung für z ∈ C mit
√
√
a) z = 3 + i ,
b) z = 3 − i ,
c) z = −1 + i .
6. Geben Sie z ∈ C in kartesischer und exponentieller Darstellung an:
√
3+i
2
√ .
a) z = (1 + i)
b) z =
1 − 3i
7. Man stelle die komplexen Zahlen in trigonometrischer und in kartesischer Form dar!
√
a) z = (1 − j)6 b) z = exp(3πj) c) z = (1.5 + 1.5j 3)6
8. Von den folgenden komplexen Zahlen gebe man alle n–ten Wurzeln in kartesischer Form an!
a) z = 8 − 15j (n = 2)
−6 (n = 4) e) z = 8j
b) z = −2 + 2j
(n = 3)
(n = 3) c)
z = 5 + 8j
(n = 5)
9. Lösen Sie im Bereich der komplexen Zahlen die Gleichung:
z 2 + 2iz = −8.
Geben Sie die Lösungen in algebraischer und trigonometrischer Form an.
10. Lösen Sie die folgenden Gleichungen:
a) x2 + (5 − 2i)x + 5(1 − i) = 0 ,
b) x2 + (2 + 3i)x + 1 + 3i = 0 .
11. Es seien z1 = −4i, z2 = 3 − 2i und z3 = −1 + i. Berechnen Sie
a) z1 − 2z2 + 3z3 ,
b) z1 (2z2 − z1 ) + z3 ,
1
c)
z1 · z2
.
z3
d) z =
Geben Sie die Ergebnisse jeweils in trigonometrischer Form an.
12. Für welche Punkte z der Gauß’schen Zahlenebene gilt
a)
|arg(z)| <
π
2
b)
|z|2 + Re(z) = 1 c)|z + 2 − j| ≥ 2
?
13. Beweisen Sie folgende Rechenregeln : (z1 , z2 ∈ C)
a)
z=z
b)
z1 + z2 = z1 + z2
c) z1 · z2 = z1 · z2
14. Wir betrachten das Polynom P (z) = z 3 − z 2 + z − 1
a) Zeigen Sie unter Verwendung der Rechenregeln für konjugiert komplexe Zahlen, dass folgende
Beziehung gilt : P (z) = P (z)
b) Sei z0 eine Nullstelle, d.h. P (z0 ) = 0. Was kann man dann über z0 aussagen ?
15. Man überlagere die harmonischen Schwingungen y1 (t) = A sin(ωt) und y2 (t) = B cos(ωt)
(A > 0, B > 0) unter Verwendung komplexer Zeiger.
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