Mathematik I - Fachrichtung Mathematik

TU Dresden · Fachrichtung Mathematik · Institut für Numerische Mathematik
Prof. A. Fischer
1
Wintersemester 16/17
Mathematik I
1. Übung (17. - 21. 10. 2016)
Ü1: 3.9; 3.10; 3.12.a,b,f,g; 3.13.a,b,c,d,e; 3.14.c,d,h; 3.15
(Für die 2 ersten Übungswochen werden die Aufgabentexte ausnahmsweise noch bereitgestellt.)
Ü1 Aufgabe 3.9.
z1
, z2 ∗ z1 , z2 ∗ z2 von:
Man berechne z1 + z2 , z1 − z2 , z1 ∗ z2 ,
z2
√
b) z1 = 2 + 3 i, z2 = 3 − 5 i,
a) z1 = 1 + i 3, z2 = 1 − i,
c) z1 = 4 − 5 i, z2 = 4 + 5 i,
d) z1 = i, z2 = −2 − 4 i,
Ü1 Aufgabe 3.10.
Welche komplexe Zahl ist das Spiegelbild von z 6= 0 bei Spiegelung
a) am Ursprung,
b) an der reellen Achse,
c) an der imaginären Achse,
d) an der Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten,
e) an der Winkelhalbierenden des II. und IV. Quadranten?
Ü1 Aufgabe 3.12.
Von der komplexen Zahl z bestimme man Real- und Imaginärteil:
a) z
d) z
g) z
i) z
1
3 + 2i
1+ i 2
,
=
b) z =
,
,
c) z =
i+1
1+ i
1− i
18
√ 4
(2 i + 1)( i − 2) + 1
iπ
=
,
6
3)
,
e)
z
=
(3
i
−
f)
z
=
2
e
,
(2 − i)2 − 2 + i
√
5
h) z = r e iϕ mit r = 4, ϕ = π,
= 64(sin2 ϕ + i 3 + cos2 ϕ)−6 ,
6
√
2
iϕ
= re
mit r = 2 3, ϕ = − π.
3
Ü1 Aufgabe 3.13.a,b,c,d,e
Berechnen Sie den absoluten Betrag und das Argument der komplexen Zahlen, und geben Sie die
trigonometrische und exponentielle Form an:
√
√
2− i
1 + 2i
1
3
,
e) z =
a) z = i + 1,
d) z =
,
b) z = 3 + i,
c) z = − + i
,
3 i + ( i − 1)2
2− i
2
2
Ü1 Aufgabe 3.14.
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2
Man stelle die folgenden Zahlen in trigonometrischer Form und in der Gestalt x + iy dar:
√ !6
3
√
3
3
b) e3π i ,
d) e2−6π i ,
.
+i
h)
c) 2 − i 3 ,
2
2
Ü1 Aufgabe 3.15.
√
√
√
Geben Sie die komplexen Zahlen z1 = 4 i, z2 = 2 + 6 i, z3 = 3 3 − 3 i, z4 = −3 − 3 i in
exponentieller Darstellung an! Berechnen Sie mit deren Hilfe:
z̄2 ∗ z4
242 ∗ z̄15 ∗ z42
z3
z4
,
c) z7 =
d) z8 =
b) z6 = 34 ,
.
a) z5 = 2 ,
2
z̄3
z4
z̄28 ∗ z34
z1