Arbeitsblatt 1 "Komplexe Zahlen" - pythagoras-club

Mathematik
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1. Komplexe Zahlen - Einführung
Angenommen wir pflanzen 30a Wald an, gleichzeitig wird aber an anderer Stelle 20a Wald abgeholzt,
so gewinnen wir insgesamt 10a. Werden nun weitere 35a abgeholzt, so gewinnen wir noch -25a. D.h.
der Gewinn beträgt 25a weniger als nichts. Angenommen diese Fläche von -25a sei quadratisch, dann
hat dieses Quadrat doch auch eine Seite?
(John Wallis (Lehrer von Newton), 1616-1703)
Geronimo Cardano (1501 – 1576), ein italienischer Arzt, Mathematiker
und Ingenieur (Kardan-Welle) stellte erste Überlegungen zu komplexen
Zahlen an. In seinem Werk "Ars magna" stellte er folgende Aufgabe:
"Die Zahl 40 ist so in zwei Faktoren zu
zerlegen, dass deren Summe 10 ergibt."
40 = 𝑥(10 − 𝑥)
Also:
𝑥 2 − 10𝑥 + 40 = 0
Lösung: 𝑥1,2 =
10±√100−160
2
𝑥1 = 5 + √−15
𝑥2 = 5 − √−15
Wenn man nun eine neue Zahl i einführt, für die gilt 𝑖 2 = −1 , so erhält
man √−15 = √15 ∙ (−1) = √15 ∙ √−1 = √15 ∙ 𝑖
𝑥1 = 5 + √15𝑖
somit gilt dann
𝑥2 = 5 − √15𝑖
Eine Komplexe Zahl z ist darstellbar als 𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊 mit 𝒂, 𝒃  IR und 𝒊𝟐 = −𝟏
a heisst Realteil
a = Re(z),
b heisst Imaginärteil
b = Im(z).
Falls b = 0, ergibt sich z = a und die Zahl z heisst „reell“
Falls a = 0, ergibt sich z = bi und die zahl z heisst „rein imaginär“
Die konjugiert komplexe Zahl von 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 ist
𝑧̅ = 𝑎 − 𝑏𝑖
Die Menge der komplexen Zahlen wird mit C bezeichnet.
Rechnen mit komplexen Zahlen:
Addition:
(3 + 2𝑖) + (1 + 4𝑖) =
………………………………………………………………………………
Subtraktion:
(3 + 2𝑖) − (1 + 4𝑖) =
………………………………………………………………………………
(3 + 2𝑖) ∙ (1 + 4𝑖) =
………………………………………………………………………………
Multiplikation:
(3+2𝑖 )
Division:
(1+4𝑖 )
=
………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………
E:\1_GYMER\_Unterricht\AUFGABEN\03_7 komplexe Zahlen\komplexe_zahlen_1.docx
2. Komplexe Zahlen - Darstellung
Wir kennen bis dahin die Summendarstellung der Form 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖
Eine komplexe Zahl kann aber auch als geordnetes Paar dargestellt werden:
z = (a,b)
Diese Darstellung erinnert an die Koordinaten eines Punktes in der Ebene. Carl Friedrich Gauss (17771855) führte dann auch die Darstellung ("Versinnlichung") der komplexen Zahlen in der Ebene ein.
Eine komplexe Zahl wird nun als Punkt in der Ebene interpretiert:
Auf der x-Achse werden die Realteile angegeben:
Reelle Achse
Auf der y-Achse werden die Imaginärteile angegeben:
Imaginäre Achse
Man nennt diese Ebene der komplexen Zahlen die „Gauss’sche Ebene“.
Aufgabe:
Bestimme die Lösungen der folgenden Gleichungen und zeichne sie in der Gauss'schen Ebene ein.
1.
𝑥 2 − 10𝑥 + 25 = −4
L = { ………………………………………………..}
2.
𝑥 2 − 2𝑥 + 2 = 0
L = { ………………………………………………..}
3.
x 2 − 4x − 21 = 0
L = { ………………………………………………..}
4.
4𝑥 2 + 48𝑥 + 145 = 0
L = { ………………………………………………..}
2
Komplexe Zahlen - Polarform
Ein Punkt z in der Ebene (bzw. eine komplexe Zahl) kann
nicht nur durch seine kartesischen Koordinaten angegeben
werden, sondern auch durch den Abstand zum Nullpunkt r
und den Winkel 𝜑 zwischen der reellen Achse und der Verbindungsstrecke vom Nullpunkt zu z
𝑎 = 𝑟 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜑
Es gilt dann
𝑏 = 𝑟 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜑
𝑟 = √𝑎2 + 𝑏 2
oder
𝑏
𝑡𝑎𝑛𝜑 = 𝑎
Die komplexe Zahl 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 schreibt sich dann als 𝑧 = 𝑟 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜑 + 𝑟 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜑 ∙ 𝑖 = 𝑟 ∙ (𝑐𝑜𝑠𝜑 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛𝜑)
oder abgekürzt:
𝑧 = 𝑟 ∙ 𝑐𝑖𝑠𝜑
Die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen in Polarform 𝑧1 = 𝑟1 𝑐𝑖𝑠𝜑1 und
𝑧1 ∙ 𝑧2
𝑧2 = 𝑟2 𝑐𝑖𝑠𝜑2 ergibt:
=
=
=
=
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