Rechenhilfe für VET_1 (Dreiphasensysteme)

Rechenhilfe für VET_1 (Dreiphasensysteme)
Der erste Versuch VET_1 setzt den guten Umgang mit komplexen Zahlen voraus. Die
Grundrechenregeln in der komplexen Ebene müssen alle Laborteilnehmer beherrschen, um
richtige Ergebnisse zu erzielen. Ebenfalls muss die Darstellung einer komplexen Zahl im
kartesischen Koordinatensystem und im Polarkoordinatensystem für jeden Laborteilnehmer
verständlich sein. An der Stelle werden ein paar Definitionen und Zusammenhänge
eingeführt, die bei der Durchführung dieses Versuches hilfreich sein können.
Wichtige Definitionen:
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Die Menge der komplexen Zahlen wird, wie folgt, definiert: ℂ = ℝ ∪ {j} mit j2 = -1.
∀ z ∈ ℂ; z = a + j*b mit a, b ∈ ℝ. Jede komplexe Zahl kann dann in dieser Form dargestellt
werden. Die Form heißt kartesische Form. Als Beispiel werden induktive und kapazitive
Lasten bei einer sinusförmigen Quellspannung u(t) = Umax*sin(ωt) genommen.
Induktiv:
Z = R + jωL, in diesem Fall a = R und b = ωL
Kapazitiv
Z=R+
1
𝑗𝑗ωC
1
ωC
=R-j
(im Nenner und im Zähler mit j multipliziert) a = R und b = -
Die Darstellung einer komplexen Zahl ist im folgenden Bild zu sehen:
1
ωC
|z| = √𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏 2 : Betrag oder Abstand zum Ursprung des
Achsensystems.
a: Realteil, b: Imaginärteil
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Jede komplexe Zahl z = a + j*b besitzt eine komplexkonjugierte Zahl z = a- j*b
Jede komplexe Zahl z = a + j*b (z ≠ 0) kann auch in der sogenannten Polarform
dargestellt werden. Diese Form wird folgendermaßen definiert: z = a + j*b = r𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗 , mit
𝑎𝑎
𝑏𝑏
r = |z|, cos𝜑𝜑 = 𝑟𝑟 und sin𝜑𝜑 = 𝑟𝑟
wichtige Hinweise:
Um den Winkel 𝜑𝜑 eindeutig, zu bestimmen müssen cos𝜑𝜑 und sin𝜑𝜑 gleichzeitig bekannt sein.
Das Ablesen eines Winkels erfolgt nur in einer Richtung(mathematisch positive Richtung)
und zwar gegen den Uhrzeigersinn. Das Programm VET_1 baut dem entsprechend, darauf
auf.
Im ersten Teil von VET_1 eignet sich die Polardarstellung einer komplexen Zahl viel besser als
die kartesische Darstellung, um einen Quotienten oder ein Produkt zu bilden, da die
komplexe Exponentialfunktion die Eigenschaften der reellen Exponentialfunktion besitzt.
Beispiel:
U = Z * I mit U = 45V* 𝑒𝑒 𝑗𝑗30 und Z = 50Ω – j*53Ω = 72,9Ω*𝑒𝑒 𝑗𝑗−47.
45V∗ 𝑒𝑒 𝑗𝑗30
45V
Es gilt dann I = 72,9Ω∗𝑒𝑒 𝑗𝑗−47 = 72,9Ω* 𝑒𝑒 𝑗𝑗(30−(−47)) = 0,617A*𝑒𝑒 𝑗𝑗77 .
Um die komplexe Leistung Sk eines Zweigs k der Spannung Uk und des Stroms ik in einem
Netzwerk, gilt:
Sk = Uk* ik,komplex konjugiert
Hinweise zum VET_1-Programm:
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Die Phasen der verschiedenen Ströme, die berechnet werden müssen, ergeben sich
unmittelbar aus dem Verhältnis der komplexen Spannung zur komplexen Impedanz.
Jede andere Eingabe (zum Beispiel in umgekehrter Richtung) wird vom Programm für
falsch gehalten.
Alle Phasen werden in ° (Grad) eingegeben.