Labor Elektrotechnik O. Ferhi B.Sc Rechenhilfe für VET_1

Labor Elektrotechnik
O. Ferhi B.Sc
Rechenhilfe für VET_1 (Dreiphasensysteme)
Der erste Versuch VET_1 setzt den guten Umgang mit komplexen Zahlen voraus. Die
Grundrechenregeln in der komplexen Ebene müssen alle Laborteilnehmer beherrschen, um richtige
Ergebnisse zu bekommen. Ebenfalls muss die Darstellung einer komplexen Zahl im kartesischen
Koordinatensystem und im Polarkoordinatensystem für jeden Laborteilnehmer verständlich sein. An
der Stelle werden ein paar Definitionen und Zusammenhänge eingeführt, die bei der Durchführung
dieses Versuches hilfreich sein können.
Wichtige Definitionen:
•
•
Die Menge der komplexen Zahlen wird, wie folgt, definiert: ℂ = ℝ ∪ {j} mit j2 = -1.
∀ z ∈ ℂ; z = a + jb mit a, b ∈ ℝ. Jede komplexe Zahl kann dann in dieser Form dargestellt
werden. Die Form heißt kartesische Form. Als Beispiel werden induktive und kapazitive Lasten
bei einer sinusförmigen Quellspannung u(t) = Umax sin(ωt) genommen.
Induktiv:
Z = R + jωL: in diesem Fall a = R und b = ωL
Kapazitiv:
Z=R+
1
𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗
=R−j
1
𝜔𝜔𝜔𝜔
(im Nenner und im Zähler mit j multipliziert) a = R und b = −
Die Darstellung einer komplexen Zahl ist im folgenden Bild zu sehen:
|z| = √𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏 2
Achsensystems.
1
𝜔𝜔𝜔𝜔
: Betrag oder Abstand zum Ursprung des
a: Realteil, b: Imaginärteil
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•
Jede komplexe Zahl z = a + jb besitzt eine komplex-konjugierte
Zahl z = a – jb
Jede komplexe Zahl z = a + jb (z ≠ 0) kann auch in der sogenannten Polarform dargestellt
werden. Diese Form wird folgendermaßen definiert: z = a + jb = r𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗 , mit r = |z|, cos𝜑𝜑 =
sin𝜑𝜑 =
𝑏𝑏
𝑟𝑟
𝑎𝑎
𝑟𝑟
und
wichtige Hinweise:
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•
Um den Winkel 𝜑𝜑 einer komplexen Zahl z eindeutig zu bestimmen, müssen cos𝜑𝜑 und sin𝜑𝜑
gleichzeitig bekannt sein. Ein Winkel trägt ein positives Vorzeichen, wenn er im mathematisch
positiven Sinne abgelesen wird (gegen den Uhrzeigersinn).
Im ersten Teil von VET_1 eignet sich die Polardarstellung einer komplexen Zahl viel besser als
die kartesische Darstellung, um einen Quotienten oder ein Produkt zu bilden, da die komplexe
Exponentialfunktion die Eigenschaften der reellen Exponentialfunktion besitzt.
Beispiel: Betrachtet wird ein Zweig der komplexen Spannung U und der Impedanz Z.
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U = Z I mit U = 45 V 𝑒𝑒 𝑗𝑗30° und Z = 50 Ω – j 53 Ω = 72,9 Ω 𝒆𝒆𝒋𝒋−𝟒𝟒𝟒𝟒°
•
45 𝑉𝑉 𝑒𝑒 𝑗𝑗30°
𝑒𝑒 𝑗𝑗−47°
Es gilt dann I = 72,9 𝛺𝛺
=
45 𝑉𝑉
72,9 𝛺𝛺
𝑒𝑒 𝑗𝑗�30−(−47)�° = 0,617 A 𝒆𝒆𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋°
Um die komplexe Leistung Sk eines Zweiges k der Spannung Uk und des Stroms Ik in einem
Netzwerk zu berechnen, gilt:
Sk = Uk Ik,komplex konjugiert
•
•
•
Die Phasen der verschiedenen Ströme, die berechnet werden müssen, ergeben sich unmittelbar aus
dem Verhältnis der komplexen Spannungen zu den entsprechenden komplexen Impedanzen.
Alle Phasen werden in ° (Grad) eingegeben.
In einem Drehstromsystem (Sternschaltung) gelten folgende Zusammenhänge:
∀
1 ≤ i,k ≤ 3 ; i ≠ k gilt: | Uik | = √3 | Ui |
Uik: komplexwertige Leiterspannung (in anderen Literaturquellen auch als UL bezeichnet)
Ui: komplexwertige Strangspannung (in anderen Literaturquellen auch als US bezeichnet)
•
Die Zeiger der komplexwertigen Strangspannungen
Drehstromsystem sind folgendermaßen definiert:
in
dem
im
Bild
dargestellten
U1 = | U1 | 𝑒𝑒 𝑗𝑗 0°
U2 = | U2 | 𝑒𝑒 𝑗𝑗 (−120)°
U3 = | U3 | 𝑒𝑒 𝑗𝑗 (120)°
Frage:
Wie lassen sich anhand der Zeiger der Strangspannungen die komplexwertigen Leiterspannungen 𝑈𝑈𝑖𝑖𝑖𝑖
in Polarform darstellen?
Hinweis:
∀
1 ≤ i,k ≤ 3 ; i ≠ k gilt: Uik = Ui − Uk
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Bringen Sie Ui und Uk auf die kartesische Form und bestimmen Sie die Spannung Uik. Anschließend
formen Sie Ihr Ergebnis in Polarkoordinaten um.
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Für die Leiterströme in einem symmetrischen und sternförmigen Drehstromsystem gilt der
folgende Zusammenhang: I1 + I2 + I3 = 0
Die Menge der komplexen Zahlen ist eine ungeordnete Menge. Daher ist es mathematisch nicht
korrekt, zwei komplexe Zahlen miteinander zu vergleichen.
Um von der komplexwertigen Schreibweise einer bestimmten Größe (Strom, Spannung …) in
einem symmetrischen und sternförmigen Drehstromsystem (Zeiger: T = |T| 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗 ) zu der im
Zeitbereich zu wechseln, gilt der allgemeine Zusammenhang:
T(t) = Re{ |T| 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 }
Re{}: Realteil
𝜑𝜑 : Phase des Zeigers
𝜔𝜔 : Kreisfrequenz des Drehstromsystems: 𝜔𝜔 = 2𝜋𝜋 f