Diskrete algebraische Strukturen

Diskrete algebraische Strukturen
FB 3 — Mathematisches Institut
Dr. Mark Steinhauer
Marco Böhm und Thomas Senkowski
Übung 12
8. Juli 2017
Aufgabe 80: (Überprüfen von Körpereigenschaften)
Auf der Menge R2 = R × R seien die folgenden Operationen/Verknüpfungen definiert:
(x, y) ⊕ (u, v) := (x + u, y + v) ,
(x, y) (u, v) := (xu − yv, xv + yu) .
Zeigen Sie, dass (R2 ; ⊕, ) ein Körper ist.
Aufgabe 81: (Beispiel einer Gruppe)
Sei R := (R; +, ·) ein Ring mit der Eigenschaft, dass die Halbgruppe (R, ·) kommutativ ist und
ein Einselement 1 besitzt. Ausserdem bezeichne E die Menge
{x ∈ R | ∃y ∈ R : x · y = 1} .
Beweisen Sie: (E; ·) ist eine kommutative Gruppe.
Aufgabe 82: (Rechnen mit komplexen Zahlen)
Berchnen Sie für
(a) z1 = 1 − 2i und z2 = 3 + 4i,
(b) z1 = 1 − 2i und z2 = 3 + 5i
z1
die komplexen Zahlen z1 + z2 , z1 − z2 , z1 · z2 , , z14 .
z2
Aufgabe 83: (Trigonometrische Darstellung/Polarform von komplexen Zahlen)
Für die nachfolgend angegebenen komplexen Zahlen berechne man die trigonometrische Darstellung/Polarform:
√
1 + 3i, −3 + 7i, −3 − 7i, (1 + i)100 .
Aufgabe 84: (Lösen von Gleichungen in C )
Berechnen Sie sämtliche komplexen Lösungen der folgenden Gleichungen:
(a) z 2 + z + 1 = 0,
(b) z 3 + 1 = 0,
(c) z 6 + 64 = 0,
(d) z 6 + 729 = 0.
Aufgabe 85: (Lösen einer Gleichung in C )
Welche komplexen Zahlen erfüllen die Gleichung
|z|2 + 2 · Rez = 3 ?
Aufgabe 86: (Eine endliche Gruppe aus komplexen Zahlen)
Es sei E := {a ∈ C | an = 1} die Menge aller komplexen Lösungen der Gleichung z n = 1.
Zeigen Sie, dass diese Menge zusammen mit der gewöhnlichen Multiplikation komplexer Zahlen
eine Gruppe bildet.
Besprechung in der 29. Woche
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