Blatt 03 - Fachbereich Mathematik

Fachbereich
Mathematik
Prof. Dr. Jörg Teschner,
PD Dr. Ralf Holtkamp
Übungsaufgaben Mathematik I für Studierende der Physik:
Blatt 3 zur Abgabe am 16.11.2016 (in den Übungen).
Die Lösungen der folgenden Aufgaben sind schriftlich auszuarbeiten und handschriftlich
abzugeben. Sie können für dieses Blatt zu zweit zusammenarbeiten und Lösungen abgeben. Dabei müssen allerdings beide, die zusammen abgeben, derselben Übungsgruppe
angehören, und jeder Abgabepartner sollte erkenntlich pro Blatt mindestens eine Aufgabenlösung aufgeschrieben haben.
Aufgabe 1: (1+1+2 Punkte)
Betrachten Sie die Menge F3 := {a, b, c}, auf der zwei Verknüpfungen + und · durch
folgende Tabellen definiert sind:
+
a
b
c
a
a
b
c
b
b
c
a
·
a
b
c
c
c
a
b
a
a
a
a
b
a
b
c
c
a
c
b
Sie dürfen als gegeben annehmen, dass beide Verknüpfungen jeweils assoziativ und kommutativ sind. Verifizieren Sie, dass (F3 , +, ·) ein Körper ist:
(a) Bestimmen Sie das neutrale Element und die Inversen von (F3 , +).
(b) Bestimmen Sie das neutrale Element und die Inversen von (F3 , ·).
(c) Zeigen Sie, dass das Distributivgesetz erfüllt ist.
Aufgabe 2: (3+2+1 Punkte)
(a) Stellen Sie folgende komplexe Zahlen in der Gestalt a + bi mit a, b ∈ R dar:
2+i
, (1 + i)6 − (i − 1)6 ,
3 + 4i
5
,
(2 − i)2
1 + 2i
.
4 − (2 + i)2
Zeichnen Sie diese in der komplexen Zahlenebene ein.
(b) Bestimmen Sie die Menge aller komplexen Zahlen z 6= 0, für die gilt: z = z −1 ?
(c) Für welche komplexen Zahlen z gilt, dass der Imaginärteil von iz der Realteil von
z ist?
Aufgabe 3: (1+2 Punkte)
(a) Zeigen Sie, dass für alle komplexen Zahlen w und z gilt:
w + z = w + z und w · z = w · z.
(b) Sei P ein Polynom mit reellen Koeffizienten. Zeigen Sie, dass die Nullstellen in C
achsensymmetrisch bezüglich der Gerade Im(s) = 0 angeordnet sind, d.h. dass für
alle z ∈ C gilt:
P (z) = 0 ⇔ P (z̄) = 0.
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Aufgabe 4: (2+1 Punkte)
(a) Zeigen Sie, dass man auf dem Körper F3 aus Aufgabe 1 und auf dem Körper C der
komplexen Zahlen keine Ordnungsrelation definieren kann, die den Axiomen (O1)(O3) aus dem Skript genügt. (Tipp: Führen Sie jeweils einen Widerspruchsbeweis.)
(b) Berechnen Sie alle komplexen Lösungen der Gleichung z 2 = 4i.
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