4. Übungsblatt - Universität Stuttgart

Institut für Geometrie und Topologie
Prof. Wolfgang Kühnel
Universität Stuttgart
Übungsblatt 4 vom 5. November 08
Übungen zur Linearen Algebra und Analytischen Geometrie I
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Übungsaufgabe 15 Es bezeichne R3 den 3-dimensionalen Euklidischen Raum.
(a) Berechnen Sie die Ebene E im R3 , auf welcher der Vektor ~a := (1, 2, 3) senkrecht steht, so dass der Punkt mit den Koordinaten x = y = z = 1 in E enthalten ist.
(b) Entscheiden Sie, ob die beiden Ebenen E1 und E2 im R3 , welche durch die
Gleichungen
E1 :
2x − 3y + z = 1
E2 :
1536y − 1024x − 512z = 0
E1 :
3x + 4z = 5
bzw.
E2 :
6x + y + 8z = 10
gegeben sind, parallel zueinander liegen.
(c) Welches Gebilde ensteht im R3 , wenn man vom festen Punkt P mit den Koordinaten x = 1, y = 0, z = 2, alle geometrischen Richtungsvektoren
~ = a · (1, 2, 3) + b · (0, 2, 2) + c · (1, 1, 2)
X
mit beliebigen reellen Zahlen a, b, c abträgt?
Hausaufgabe 16 (schriftlich; 4 Punkte) Sei D ein Dreieck in der Euklidischen
Ebene R2 mit den Eckpunkten P1 , P2 und P3 (d.h. P1 , P2 und P3 liegen nicht auf
einer Geraden). Eine Seitenhalbierende von D verbindet eine Ecke mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite. Eine Gerade, welche eine Ecke von D enthält
und senkrecht zur gegenüberliegenden Seite ist, wird Höhe von D genannt. Zeigen
Sie unter Verwendung der Rechenregeln für Addition und Skalarprodukt von geometrischen Vektoren in der Ebene die folgenden beiden Aussagen:
1. Die drei Seitenhalbierenden des Dreiecks D schneiden sich in genau einem
Punkt der Ebene R2 .
2. Die drei Höhen von D schneiden sich in genau einem Punkt.
Das griechische Alphabet
Alpha A
Beta
B
Gamma Γ
Delta
∆
Epsilon E
Zeta
Z
α
β
γ
δ
ε
ζ
Eta
H
Theta
Θ
Iota
I
Kappa K
Lambda Λ
My
M
η
ϑ, θ
ι
κ
λ
µ
Ny
Xi
Omikron
Pi
Rho
Sigma
N ν
Ξ ξ
O o
Π π
P ρ
Σ σ
Tau
T
τ
Ypsilon Υ υ
Phi
Φ φ,ϕ
Chi
X χ
Psi
Ψ ψ
Omega Ω ω
Hausaufgabe 17 (schriftlich; 4 Punkte) Es sei A := {0, 1, x, y} eine Menge
mit 4 Elementen. Auf der Menge A sind durch die folgenden Tabellen zwei
Verknüpfungen ⊕ : A × A → A und : A × A → A definiert:
⊕ 0
0 0
1 1
x x
y y
1 x
1 x
0 y
y 0
x 1
y
y
x
1
0
0
1
x
y
0
0
0
0
0
1 x
0 0
1 x
x y
y 1
y
0
y
1
x
1. Prüfen Sie, ob A mit den so definierten Verknüpfungen ⊕ und ein Körper
ist. Welche Struktur stellt eingeschränkt auf {1, x, y} × {1, x, y} dar?
2. Berechnen Sie (x ⊕ y) (x ⊕ 1) (y ⊕ 1) !
3. Berechnen Sie (x ⊕ 1)3 = (x ⊕ 1) (x ⊕ 1) (x ⊕ 1) !
Hausaufgabe 18 (schriftlich; 4 Punkte) Es sei Z die Menge der ganzen Zahlen
und n ∈ N eine natürliche Zahl. Auf Z ist eine Äquivalenzrelation ∼ definiert durch
a∼b
:⇔
a − b ist durch n teilbar .
Die Menge der Äquivalenzklassen von (Z, ∼) bezeichnen wir mit Z/nZ. Die
Äquivalenzklasse von a ∈ Z bezeichnen wir mit ā ∈ Z/nZ.
(a) Zeigen Sie:
1. ā = { a + kn | k ∈ Z }.
2. Durch ā ⊕ b̄ := a + b und ā b̄ := a · b sind zwei Verknüpfungen auf Z/nZ
wohldefiniert.
3. Die Menge Z/nZ mit der Addition ⊕ und der Multiplikation ist ein kommutativer Ring (siehe unten!).
(b) Sei nun n := c · d ein Produkt von natürlichen Zahlen c, d > 1. Warum ist dann
Z/nZ mit ⊕ und kein Körper? Ist (Z/5Z, ⊕, ) ein Körper?
Definition: Eine Menge R zusammen mit zwei Verknüpfungen ⊕ (genannt Addition) und (genannt Multiplikation) ist ein kommutativer Ring, wenn (R, ⊕) eine
abelsche Gruppe bildet, die Multiplikation kommutativ und assoziativ ist, und das
Distributivgesetz a (b ⊕ c) = a b ⊕ a c für alle a, b, c ∈ R gilt.
Abgabe der schriftlichen Hausaufgaben in den Übungsgruppen am 11.
und 12.11.08!