5 . ¨Ubung zum Propädeutikum Mathematik

Universität Würzburg
Mathematisches Institut
Dr. J. Jordan
Sommersemester 2012
22.05.2012
5 . Übung zum Propädeutikum Mathematik
5.1 Es sei Abb(R, R) die Menge der Abbildungen f : R → R.
1) Zeigen Sie: Abb(R, R) ist eine abelsche Gruppe bezüglich der Addition f + g :
R → R, x 7→ f (x) + g(x).
2) Nun sei zusätzlich eine Multiplikation f · g : R → R durch x 7→ f (x)g(x)
definiert. Ist Abb(R, R) diesbezüglich ein Ring oder sogar ein Körper?
3) Ist Abb(R, R) bezüglich Verknüpfung f ◦ g : R → R, x 7→ f (g(x)) eine Gruppe?
5.2 Auf der Menge der komplexen Zahlen werde die übliche Addition und die Multiplikation (a + bi) ◦ (c + di) := (ac + bdi) definiert. Ist C bezüglich dieser Multiplikation
ein Körper?
5.3 Wählen Sie sich eine Menge M und erfinden Sie eine algeraische Struktur mit einer
Verknüpfung ◦ : M × M → M . Untersuchen Sie welche der Eigenschaften aus der
Definition zu Gruppen in Ihrer Struktur erfüllt sind.
Gruppe:
Eine Gruppe (G, ·) ist eine Menge versehen mit einer Verknüpfung ◦ : G × G → G, so
dass gilt
(i) Existenz eines neutralen Elementes: Es gibt ein Neutrales Element, also ein
Element e ∈ G mit der Eigenschaft e ◦ g = g für alle g ∈ G.
(ii) Existenz inverser Elemente: Für jedes g ∈ G gibt es ein h ∈ G mit g ◦ h = e
(Inverses Element).
(iii) Assoziativität: Für alle g, h, k ∈ G gilt (g ◦ h) ◦ k = g ◦ (h ◦ k)
Falls zusätzlich für alle x, y ∈ G: x ◦ y = y ◦ x gilt, so nennt man R einen abelsche
Gruppe.
Ring:
Eine Menge R, versehen mit zwei Abbildungen + : R × R → R und ·R × R → R heißt
Ring, falls folgende Eigenschaften erfüllt sind:
1)
(i) Existenz eines neutralen Elementes zur Addition: Es gibt ein n ∈ R, so
dass für alle x ∈ R gilt: x + n = x
(ii) Existenz inverser Elemente: Zu jedem x ∈ R gibt es ein x̃ ∈ R, so dass
x + x̃ = n.
(iii) Assoziativität der Addition: Für alle x, y, z ∈ R gilt (x+y)+z = x+(y+z).
(iv) Kommutativität der Addition: Für alle x, y ∈ R gilt x + y = y + x.
2)
(i) Existenz eines neutralen Elementes zur Multiplikation: Es gibt ein
e ∈ R, so dass für alle x ∈ R gilt:ex = xe = x
(ii) Assoziativität der Multiplikation: Für alle x, y, z ∈ R gilt (xy)z = x(yz).
3) Distributivität: Für alle a, b, c gilt
a(b + c) = ab + ac und (a + b)c = ac + bc.
Falls zusätzlich für alle x, y ∈ R: xy = yx gilt, so nennt man R einen kommutativen
Ring.
Körper:
Eine Menge K versehen mit einer Addition + : K × K → K und einer Multiplikation
· : K × K → K heißt Körper, wenn K ein kommutativer Ring ist und zusätzlich gilt:
Für jedes x ∈ K \ {0} gibt es ein x̃ ∈ K \ {0}, so dass xx̃ = 1 ist.
hierbei sei mit 0 das neutrale Element des Addition und mit 1 das neutrale Element der
Multiplikation bezeichnet.