Axiome der reellen Zahlen

Axiome der reellen Zahlen
Definition. Eine Menge R heißt Menge der reellen Zahlen,
wenn für ihre Elemente eine Addition “+”, eine Multiplikation “ · ”
und eine Ordnungsrelation “<” definiert sind, die den nachfolgenden Axiomen (A1)–(A5), (M1)–(M5), (D), (O1)–(O4) und
(V) genügen.
(A1) (Definition der Addition) Jedem geordneten Paar (a, b) reeller
Zahlen ist eine eindeutig bestimmte reelle Zahl a + b zugeordnet,
die Summe von a und b genannt wird.
(A2) (Kommutativität der Addition) Für alle a, b in R gilt
a + b = b + a.
(A3) (Assoziativität der Addition) Für alle a, b und c ∈ R gilt
(a + b) + c = a + (b + c).
(A4) (Existenz eines Nullelementes) Es gibt ein Element 0 ∈ R,
so dass für alle a ∈ R gilt
a + 0 = a.
(A5) (Existenz entgegengesetzter Elemente) Zu jedem a ∈ R gibt
es ein Element b ∈ R, so dass gilt
a + b = 0.
(M1) (Definition der Multiplikation) Jedem geordneten Paar (a, b)
reeller Zahlen ist eine eindeutig bestimmte reelle Zahl a · b zugeordnet, die Produkt von a und b genannt wird.
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(M2) (Kommutativität der Multiplikation) Für alle a und b ∈ R
gilt
a · b = b · a.
(M3) (Assoziativität der Multiplikation) Für alle a, b und c ∈ R
gilt
(a · b) · c = a · (b · c).
(M4) (Existenz eines Einselementes) Es gibt ein von 0 verschiedenes Element 1 ∈ R, so dass für alle a ∈ R gilt
1 · a = a.
(M5) (Existenz inverser Elemente) Zu jedem a ∈ R mit a 6= 0 gibt
es ein Element b ∈ R, so dass gilt
a · b = 1.
(D) (Distributivgesetz) Für alle a, b und c ∈ R gilt
(a + b) · c = (a · c) + (b · c).
(O1) (Ordnungsrelation, Trichotomie) Für alle a, b ∈ R gilt genau
eine der drei Beziehungen:
a < b,
a = b,
b < a.
(O2) (Transitivität der Ordnung) Für alle a, b und c ∈ R gilt:
Aus a < b und b < c folgt a < c.
(O3) (Monotonie der Addition) Für alle a, b und c ∈ R gilt:
Aus a < b folgt a + c < b + c.
(O4) (Monotonie der Multiplikation) Für alle a, b und c ∈ R mit
0 < c gilt:
Aus a < b folgt a · c < b · c.
Zur Abkürzung schreiben wir a ≤ b falls a < b oder a = b.
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Definition. Eine Menge A ⊂ R heißt nach oben beschränkt,
wenn es eine Zahl s ∈ R gibt, so daß für alle a ∈ A gilt a ≤ s.
Jede derartige Zahl s wird obere Schranke von A genannt. In
Zeichen A ≺ s.
Eine Menge A ⊂ R heißt nach unten beschränkt, wenn es eine
Zahl s ∈ R gibt, so daß für alle a ∈ A gilt s ≤ a.
Jede derartige Zahl s wird untere Schranke von A genannt. In
Zeichen s ≺ A.
Sind A und B Teilmengen von R und gilt a ≤ b für alle a ∈ A und
alle b ∈ B, so schreiben wir A ≺ B (“A liegt unterhalb von B”).
(V) (Ordnungsvollständigkeit) Für alle nichtleeren Teilmengen A
und B von R mit A ≺ B gibt es ein c ∈ R, so daß gilt
A ≺ c und c ≺ B.
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