reellen Zahlen

Folie 6. Der reelle Zahlkörper
17.10.03 P.Vachenauer
Modell
Zahlengerade ohne Lücken
(Anwendung: Messlatte, Zeitskala)
Die 3 Verknüpfungen
Addition + : R × R → R , Multiplikation
Anordnung ≤ : R × R → {T, F}
⋅ :R × R →R
Die 13 Axiome der reellen Zahlen
Addition (Axiome für eine kommutative additive Gruppe)
(1) Assoziativität der Addition
x + (y + z) = (x + y) + z
(2) Existenz der Null
∃0 ∈ R ∀a ∈ R a + 0 = a
(3) Existenz des Negativen
∀a ∈ R ∃( – a ) ∈ R a + ( – a ) = 0
(4) Kommutativität der Addition
x+y = y+x
Multiplikation (Axiome für eine kommutative multiplikative Gruppe)
(5) Assoziativität der Multiplikation
x ⋅ (y ⋅ z) = (x ⋅ y) ⋅ z
(6) Existenz der Eins
∃1 ∈ R ∀a ∈ R a ⋅ 1 = a
(7) Existenz des Inversen
∀a ∈ R\{0} ∃a – 1 ∈ R a ⋅ a – 1 = 1
(8) Kommutativität der Multiplikation
x⋅y = y⋅x
(9) Distributivgesetz
x ⋅ (y + z ) = x ⋅ y + x ⋅ z
Anordnung
Es gibt genau eine Teilmenge der positiven Zahlen P := { a ∈ R ; 0 < a }
(10) Trichotomie
∀a ∈ R ( 0 < a ) ∨ ( 0 < – a ) ∨ ( a = 0 ) Exklusiv
(11) Monotonie von Plus
∀a, b ∈ R ( 0 < a ) ∧ ( 0 < b ) ⇒ 0 < a + b
(12) Monotonie von Mal
∀a, b ∈ R ( 0 < a ) ∧ ( 0 < b ) ⇒ 0 < a ⋅ b
Abgeleitete Beziehungen.
a < b := 0 < b – a
und
a ≤ b : ⇔ ( a < b ) ∨ (a=b )
Vollständigkeit (nach R. Dedekind 1872) „R hat keine Lücken“
(13) Für jede Zerlegung R = L ∪ R, L ≠ ∅, R ≠ ∅, ∀l, r l ∈ L ∧ r ∈ R ⇒ l < r
gibt es eine Schnittzahl s : ∀( l ∈ L ) ∀( r ∈ R ) l ≤ s ≤ r
Nach oben beschränkte Menge S ⊂ R : ⇔ ∃( b ∈ R ) ∀( s ∈ S ) s ≤ b .
Jedes solche b heißt obere Schranke von S .
Das Supremum von S supS ist die kleinste obere Schranke von S .
Damit ist die Vollständigkeit äquivalent mit der Forderung
(13‘) Jede nach oben beschränkte Menge in R hat ein Supremum