Grundlegendes

Kapitel 1
Grundlegendes
Abschnitt 1.2
Rechnen mit reellen Zahlen
Addition und Multiplikation
Zwei reelle Zahlen a und b kann man zu einander addieren, d. h.,
den beiden Zahlen wird eine dritte Zahl, a + b, zugeordnet, welche
ebenfalls eine reelle Zahl ist.
Formal gesehen, handelt es sich bei der Addition also um eine
Funktion
+ : R × R → R, (a, b) 7→ a + b.
Ebenso kann man die reellen Zahlen a und b mit einander
multiplizieren, ihnen also eine dritte Zahl, a · b, zuordnen, welche
ebenfalls eine reelle Zahl ist. Man hat also auch eine Funktion
· : R × R → R, (a, b) 7→ a · b.
Hierbei gelten die folgenden Rechenregeln:
Regeln für die Addition
A 1 Für alle a, b, c ∈ R ist
(a + b) + c = a + (b + c).
(Assoziativgesetz der Addition)
A 2 Es gibt (genau) eine reelle Zahl n, so dass für alle a ∈ R gilt
a + n = a(= n + a).
Diese Zahl ist die (bzw. nennt man) 0.
(Neutrales Element bzgl. der Addition)
A 3 Zu jedem a ∈ R gibt es (genau) eine reelle Zahl a0 mit
a + a0 = 0(= a0 + a).
Diese Zahl nennt man −a.
(Inverses Element bzgl. der Addition)
A 4 Für alle a, b ∈ R ist
a + b = b + a.
(Kommutativgesetz der Addition)
Regeln für die Multiplikation
M 1 Für alle a, b, c ∈ R ist
(a · b) · c = a · (b · c).
(Assoziativgesetz der Multiplikation)
M 2 Es gibt (genau) eine von 0 verschiedene reelle Zahl e, so dass
für alle a ∈ R gilt
a · e = a(= e · a).
Diese Zahl ist die (bzw. nennt man) 1.
(Neutrales Element bzgl. der Multiplikation)
M 3 Zu jedem a ∈ R mit a 6= 0 gibt es (genau) eine reelle Zahl a∗
mit
a · a∗ = 1(= a∗ · a).
Diese Zahl nennt man a−1 oder 1a .
(Inverses Element bzgl. der Multiplikation)
M 4 Für alle a, b ∈ R ist
a · b = b · a.
(Kommutativgesetz der Multiplikation)
Verträglichkeit von Addition und Multiplikation
D
Für alle a, b, c ∈ R gilt
a · (b + c) = a · b + a · c
(und
(a + b) · c = a · c + b · c.)
(Distributivgesetz/e)
Hinweis. Aus Addition, Multiplikation und den jeweiligen
Inversenbildungen erhält man die restlichen beiden
Grundrechenarten vermittels
a − b := a + (−b),
für a, b, c, d ∈ R, d 6= 0.
c : d := c · d −1
Der Begriff des „Körpers“
Die gleichen Aussagen, die oben für die Menge der reellen Zahlen R
getroffen wurden, gelten wortgleich für die Menge der rationalen
Zahlen Q.
Definition. Ist K eine Menge, für die es zwei Funktionen
+ : K × K → K , (a, b) 7→ a + b
und · : K × K → K , (a, b) 7→ a · b
gibt, welche die obigen Eigenschaften A 1 – A 4, M 1 – M 4 und D
erfüllen, so heißt K (versehen mit + und ·) ein Körper.
Beispiele, 1
I
Die Menge R der reellen Zahlen bildet einen Körper bezüglich
der bekannten Addition und Multiplikation.
I
Die Menge Q der rationalen Zahlen bildet einen Körper
bezüglich der bekannten Addition und Multiplikation.
I
Die Menge Z der ganzen Zahlen bildet hingegen keinen
Körper bezüglich der bekannten Addition und Multiplikation,
da es zum Beispiel zu der Zahl 2 ∈ Z kein multiplikativ
Inverses in Z gibt, die Bedingung M 3 also verletzt ist.
Beispiele, 2
I
Sei p ∈ N× eine Primzahl (also p > 1 und nur durch 1 und
sich selbst teilbar). Man setze
Fp := {0, 1, 2, . . . , p − 1}.
Dann bildet Fp einen Körper, wenn man als Addition bzw.
Multiplikation definiert
a ⊕ b := der Rest von a + b bei Division durch p
und
a b := der Rest von a · b bei Division durch p
für a, b ∈ Fp .
Anordnung mittels „<“
Reelle Zahlen kann man der Größe nach vergleichen mittels der
Beziehung „<“. Für diese Anordnung gelten die folgenden
Eigenschaften:
Tri< Sind a, b ∈ R beliebig, so gilt
entweder a < b
oder a = b
oder b < a.
(Trichotomie)
Tra< Sind a, b, c ∈ R beliebig mit a < b und b < c, so gilt auch
a < c.
(Transitivität)
VA< Sind a, b, c ∈ R beliebig mit a < b, so gilt auch a + c < b + c.
(Verträglichkeit mit der Addition)
VM< Sind a, b, c ∈ R beliebig mit a < b und 0 < c, so gilt auch
a · c < b · c.
(Verträglichkeit mit der Multiplikation)
Anordnung mittels „5“
Anstelle der Beziehung „<“ kann man auch die Beziehung
„kleinergleich“ verwenden, also „5“ bzw. „≤“. Diese hat die
folgenden Eigenschaften:
L5 Sind a, b ∈ R beliebig, so gilt a 5 b oder b 5 a.
R5 Für jedes a ∈ R gilt a 5 a.
(Linearität)
(Reflexivität)
As5 Sind a, b ∈ R beliebig mit a 5 b und b 5 a, so gilt a = b.
(Antisymmetrie)
Tra5 Sind a, b, c ∈ R beliebig mit a 5 b und b 5 c, so gilt auch
a 5 c.
(Transitivität)
VA5 Sind a, b, c ∈ R beliebig mit a 5 b, so gilt auch a + c 5 b + c.
(Verträglichkeit mit der Addition)
VM5 Sind a, b, c ∈ R beliebig mit a 5 b und 0 5 c, so gilt auch
a · c 5 b · c.
(Verträglichkeit mit der Multiplikation)
Angeordnete Körper, 1
Alles, was bisher über die Anordnung der reellen Zahlen gesagt
wurde, gilt wörtlich auch für die rationalen Zahlen. Ähnlich wie im
letzten Abschnitt gibt diese Feststellung Anlass zu einer abstrakten
Definition. Ein Körper, auf dem eine Anordnung „<“ bzw. „5“
definiert ist, die den obigen Bedingungen (für „<“ bzw. „5“)
genügt, heißt angeordneter Körper.
Beispiele für solche Körper sind Q und R; weitere werden in dieser
Vorlesung nicht behandelt.
Hingegen ist Fp kein angeordneter Körper, egal welche Primzahl p
man wählt.
Angeordnete Körper, 2
Es ist egal, ob man im Folgenden den Körper R der reellen Zahlen
durch „<“ oder durch „5“ anordnet.
Der Einfachheit halber werden daher beide Schreibweisen
gleichzeitig verwendet, wobei zudem noch die Umkehrungen
a>b
für b < a
und
a=b
für b 5 a
benutzt werden.
Weiterhin kann man die beiden Aussagen
a<b
und b < c
zu der Ungleichungskette
a<b<c
zusammenfassen, entsprechend für „5“, „>“ und „=“.
Das archimedische Axiom
In R (und damit automatisch in Q) gilt das
Archimedische Axiom. Sind a, b ∈ R mit a > 0 und b > 0, so
gibt es ein n ∈ N× mit
na > b.
Definition. Ein angeordneter Körper, in dem das archimedische
Axiom gilt, heißt archimedisch angeordnet.
Beispiele für archimedisch angeordnete Körper sind R und Q. (Alle
weiteren liegen zwischen diesen beiden.)
Dichtheit der ratonalen Zahlen
Sind a, b beliebige rationale Zahlen, so ist ihr arithmetisches Mittel
1
2 (a + b) eine rationale Zahl, die zwischen a und b liegt.
Beweis: Mit a, b ∈ Q ist auch 12 (a + b) ∈ Q.
Für a = b ist alles klar. Ist jedoch a < b, so ist auch 12 a < 12 b, also
a = 12 a + 12 a < 21 b + 12 a = 21 (a + b)
und
1
2 (a
+ b) = 12 a + 12 b < 12 b + 12 b = b.
Entsprechend sieht man die Behauptung im Fall b < a.
Diese Beobachtung hat zur Konsequenz, dass bereits die rationalen
Zahlen so liegen, dass sie in jedem noch so kleinen Abschnitt der
Zahlengeraden vertreten sind. Würde man also jede von ihnen durch
einen Punkt (endlicher Dicke) kennzeichnen, so würde das Bild die
ganze Zahlengerade überdecken und von dem entsprechenden Bild
für die reellen Zahlen nicht zu unterscheiden sein.
Definition des (Absolut)Betrages
Mit Hilfe der Anordnung kann man den Betrag einer reellen Zahl
erklären:
Definition: Für a ∈ R beliebig heißt
a, falls a = 0,
|a| :=
−a, falls a < 0,
der (Absolut)Betrag von a.
Der Betrag misst also den Abstand des Punktes a vom Nullpunkt 0
auf der Zahlengeraden. Speziell gilt stets
|a| = | − a|
und
a 5 |a|.
Weiterhin folgt für alle a, b ∈ R mit b > 0 aus
|a| = b,
dass gilt
a=b
oder
a = −b.
Eigenschaften des Absolutbetrags, 1
Charakterisierung. Ist ε ∈ R mit ε > 0 beliebig, so gilt für x ∈ R
genau dann
|x| < ε,
wenn −ε < x und x < ε ist, also
−ε < x < ε.
Die analoge Aussage gilt, wenn man überall „<“ durch „5“ ersetzt.
Eigenschaften des Absolutbetrags, 2
Beweis: Man kann sich die Aussage aufgrund des eben Gesagten
am Zahlenstrahl veranschaulichen oder nachrechnen, wie es im
folgenden für die Fassung mit „<“ geschehen soll:
1. Fall: Es sei x = 0.
Dann ist |x| = x und stets −ε < x. Also gilt dann die Äquivalenz.
2. Fall: Es sei x < 0.
Dann ist |x| = −x und stets x < ε. Also gilt dann |x| < ε genau
dann, wenn −x < ε ist. Aus den Eigenschaften der Anordnung folgt
aber, dass −x < ε gleichbedeutend ist mit
−x + (−ε) < ε + (−ε) = 0 und dies mit
−ε = −x + (−ε) + x < 0 + x = x. Also gilt auch in diesem Falle
die Äquivalenz.
Eigenschaften des Absolutbetrags, 3
Folgerung. Ist ε ∈ R mit ε > 0 und c ∈ R beliebig, so gilt für
x ∈ R genau dann
|x − c| < ε,
wenn c − ε < x und x < c + ε ist, also
c − ε < x < c + ε.
Die analoge Aussage gilt, wenn man überall „<“ durch „5“ ersetzt.
Der Beweis dieser Folgerung ergibt sich, indem man in der obigen
Charakterisierung x durch x − c ersetzt.
Eigenschaften des Absolutbetrags, 4
Der Absolutbetrag ist in folgender Weise mit Addition und
Multiplikation verträglich:
Dreiecksungleichung: Seien a, b ∈ R beliebig. Dann gilt
|a + b| 5 |a| + |b|.
Produktregel: Seien a, b ∈ R beliebig. Dann gilt
|a · b| = |a| · |b|.
Beweis der Dreiecksungleichung
Für alle a, b ∈ R gilt a 5 |a| und b 5 |b|, also
a + b 5 a + |b| 5 |a| + |b|.
Andererseits gilt auch −a 5 | − a| = |a| und −b 5 | − b| = |b|, also
−(a + b) = (−a) + (−b) 5 (−a) + |b| ≤ |a| + |b| und daher
−(|a| + |b|) =
5
−(|a| + |b|) + (a + b) − (a + b)
−(|a| + |b|) + (a + b) + |a| + |b| = a + b.
Aufgrund der obigen Charakterisierung folgt hieraus zusammen die
Dreiecksungleichung.
Beweis der Produktregel
Man kann diesen Beweis ähnlich wie den der Dreiecksungleichung
auf die Charakterisierung zurückführen, indem man sowohl
|a · b| 5 |a| · |b| als auch |a| 5 |a · b| · |b|−1 nachweist.
Unmittelbarer ist es jedoch, wenn man die vier verschiedenen Fälle
einzeln untersucht, die sich ergeben, je nachdem a bzw. b
größergleich oder kleiner als Null ist.
Intervalle
Im Zusammenhang mit der Charakterisierung des Absolutbetrags
tauchten Mengen aller Zahlen x auf, für die gilt
−ε < x < ε
bzw.
c − ε < x < c + ε,
entsprechend mit „5“ an Stelle von „<“.
Für die Mengen der reellen Zahlen, die derartige Ungleichungsketten
erfüllen, führt man spezielle Namen und Symbole ein:
Definition eigentlicher Intervalle
Seien a, b ∈ R mit a 5 b. Dann heißt
I
die Menge
[a, b] := {x ∈ R : a 5 x 5 b}
ein abgeschlossenes Intervall,
I
die Menge
]a, b[:= {x ∈ R : a < x < b}
ein offenes Intervall,
I
die Menge
[a, b[:= {x ∈ R : a 5 x < b}
ein (rechts) halboffenes Intervall und
I
die Menge
]a, b] := {x ∈ R : a < x 5 b}
ein (links) halboffenes Intervall.
In jedem dieser Fälle wird b − a als die Länge des Intervalls
bezeichnet. Die Punkte a und b heißen Endpunkte des Intervalls.
Definition uneigentlicher Intervalle
Weiterhin definiert man auch die Intervalle
[a, ∞[ := {x ∈ R : x = a},
]a, ∞[ := {x ∈ R : x > a},
] − ∞, b] := {x ∈ R : x 5 b},
] − ∞, b[ := {x ∈ R : x < b}.
Hinweise.
I Stets gilt a ∈ [a, b], a 6∈]a, b], a 6∈]a, b[; im Falle a < b gilt
auch a ∈ [a, b[. Entsprechende Aussagen gelten für b.
I In einigen Texten wird statt
]a, b[
geschrieben
(a, b),
entsprechend für halboffene Intervalle.
Beschränkte Mengen
Definition: Sei M eine Teilmenge der reellen Zahlen.
1. Die Menge M heißt nach oben beschränkt, wenn es eine
reelle Zahl s gibt, so dass für alle x ∈ M gilt x 5 s.
In dieser Situation nennt man s eine obere Schranke von M.
2. Die Menge M heißt nach unten beschränkt, wenn es eine
reelle Zahl t gibt, so dass für alle x ∈ M gilt t 5 x.
In dieser Situation nennt man t eine untere Schranke von M.
3. Die Menge M heißt beschränkt, wenn sie sowohl nach oben
als auch nach unten beschränkt ist.
Beispiele
I
Die Mengen R, Q und Z sind weder nach oben noch nach
unten beschränkt, also auch nicht beschränkt.
I
Die Menge N0 ist nicht nach oben beschränkt, aber nach
unten: Jede nichtpositive Zahl ist eine untere Schranke.
I
Die Menge {. . . , −3, −2, −1, 0} ist nicht nach unten
beschränkt, aber nach oben: Jede nichtnegative Zahl ist eine
obere Schranke.
I
Die Intervalle der Typen [a, b], ]a, b[, [a, b[, ]a, b] mit a, b
reelle Zahlen, a 5 b, sind sowohl nach oben als auch nach
unten beschränkt (z. B. durch b bzw. a), also beschränkt.
Hingegen sind die Intervalle der Typen [a, ∞[, ]a, ∞[ nicht
nach oben beschränkt und die der Typen ] − ∞, b], ] − ∞, b[
nicht nach unten beschränkt, also allesamt nicht beschränkt.
Charakterisierung der Beschränktheit
Hilfssatz. Sei M eine Teilmenge von R. Dann ist M genau dann
beschränkt, wenn es eine reelle Zahl k gibt, so dass für alle x ∈ M
gilt |x| 5 k.
Beweis: Sei zunächst M als beschränkt vorausgesetzt. Dann gibt es
reelle Zahlen s und t, so dass für alle x ∈ M gilt t 5 x und x 5 s.
Wähle nun k so groß, dass k = s und −k 5 t ist (zum Beispiel
kann man k gleich der größeren der beiden Zahlen |s| und |t|
setzen). Dann gilt für jedes x ∈ M, dass −k 5 t 5 x und
x 5 s 5 k ist und daher |x| 5 k aufgrund der Charakterisierung
über den Absolutbetrag.
Gibt es umgekehrt ein k ∈ R mit |x| 5 k für alle x ∈ M, so gilt
aufgrund der genannten Charakterisierung −k 5 x für alle x ∈ M
und x 5 k für alle x ∈ M. Damit ist −k eine untere und k eine
obere Schranke von M, also M beschränkt.
Maximum und Minimum
Definition: Sei M eine Teilmenge der reellen Zahlen.
1. Eine reelle Zahl t heißt Maximum oder auch größtes
Element von M, wenn gilt
I
I
t ∈ M und:
Für jedes x ∈ M gilt x 5 t (d. h., t ist eine obere Schranke von
M).
2. Eine reelle Zahl s heißt Minimum oder auch kleinstes
Element von M, wenn gilt
I
I
s ∈ M und:
Für jedes x ∈ M gilt x = s (d. h., s ist eine untere Schranke
von M).
Anmerkung. Eine Teilmenge M der reellen Zahlen kann höchstens
ein Maximum bzw. Minimum haben. Also kann man im Falle der
Existenz von dem Maximum bzw. dem Minimum einer Menge M
sprechen und dafür das Symbol max M bzw. min M einführen.
Beispiele
I
max R, max Q, max Z und min R, min Q, min Z sind nicht
definiert.
I
max N0 und max N× sind nicht definiert, min N0 = 0,
min N× = 1.
I
max{. . . , −3, −2, −1, 0} = 0; min{. . . , −3, −2, −1, 0} ist
nicht definiert.
I
Für a, b ∈ R mit a ≤ b ist
max[a, b] = b,
max]a, b[ nicht definiert,
max[a, b[ nicht definiert,
max]a, b] = b, falls a < b,
max[a, ∞[ nicht definiert,
max]a, ∞[ nicht definiert,
max] − ∞, b] = b
max] − ∞, b[ nicht definiert,
min[a, b] = a,
min]a, b[ nicht definiert,
min[a, b[= a, falls a < b,
min]a, b] nicht definiert,
min[a, ∞[= a,
min]a, ∞[ nicht definiert,
min] − ∞, b] nicht definiert,
min] − ∞, b[ nicht definiert.
Kleinste obere und größte untere Schranke
Besitzt eine Menge M ein Maximum, so ist max M die kleinste
obere Schranke von M: Nach Definition ist es eine obere Schranke,
und, wenn l irgendeine obere Schranke von M ist, so muss
l = max M sein, da max M ∈ M gilt.
Entsprechend überlegt man sich, dass das Minimum einer Menge
M, falls es existiert, die größte untere Schranke dieser Menge ist.
Das Phänomen der kleinsten oberen bzw. größten unteren Schranke
wird durch eine Definition herausgestellt:
Supremum und Infimum, 1
Definition. Sei M eine Teilmenge der reellen Zahlen.
1. Eine reelle Zahl s heißt Supremum von M, wenn sie die
kleinste obere Schranke von M ist, d. h., wenn gilt
I
I
s ist obere Schranke von M und:
Für jede obere Schranke x von M gilt x = s.
Anders formuliert: Ein Supremum von M ist ein Minimum der
Menge aller oberen Schranken von M.
2. Eine reelle Zahl t heißt Infimum von M, wenn sie die größte
untere Schranke von M ist, d. h., wenn gilt
I
I
t ist untere Schranke von M und:
Für jede untere Schranke y von M gilt y 5 t.
Anders formuliert: Ein Infimum von M ist ein Maximum der
Menge aller unteren Schranken von M.
Supremum und Infimum, 2
Anmerkung. Ähnlich wie eben bei Maximum und Minimum
überlegt man sich, dass eine Teilmenge M der reellen Zahlen
höchstens ein Supremum bzw. Infimum haben kann. Daher führt
man – im Falle der Existenz – dafür die Symbole sup M bzw. inf M
ein.
Bemerkung. Sei M eine Menge. Bereits bemerkt wurde, dass (im
Falle der Existenz) das Maximum von M auch das Supremum von
M ist.
Umgekehrt ist (wieder im Falle der Existenz) das Supremum von M
gleich dem Maximum von M, falls es zu M gehört, da eine zu M
gehörende obere Schranke von M automatisch die kleinste obere
Schranke von M ist.
Entsprechendes gilt für Minimum und Infimum.
Beispiele
Da im Falle der Existenz sup M eine obere Schranke von M ist,
können nur nach oben beschränkte Mengen ein Supremum
besitzen, entsprechend nur nach unten beschränkte ein Infimum. Es
zeigt sich, dass zum Beispiel bei den Intervallen einige ein
Supremum besitzen, die kein Maximum haben, entsprechend für
Infimum und Minimum.
So ist zwar (im Falle a < b)
max]a, b[ nicht definiert,
min]a, b[ nicht definiert,
max[a, b[ nicht definiert,
min]a, b] nicht definiert,
min]a, ∞[ nicht definiert,
max] − ∞, b[ nicht definiert,
aber
aber
aber
aber
aber
aber
sup]a, b[= b,
inf]a, b[= a,
sup[a, b[= b,
inf]a, b] = a,
inf]a, ∞[= a,
sup] − ∞, b[= b.
Andererseits hat die leere Menge kein Supremum und auch kein
Infimum.