1.2 Eigenschaften der reellen Zahlen

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1.2
Kapitel 1. Mathematisches Handwerkszeug
Eigenschaften der reellen Zahlen
Alle Rechenregeln der Grundrechenarten der reellen Zahlen lassen sich auf einige
wenige Rechengesetze zurückführen, die in der folgenden Liste zusammengefasst
sind. Genauer gilt folgendes:
1.2.1 Satz Die Menge R der reellen Zahlen zusammen mit Addition + und Multiplikation · bildet einen Körper , das heisst es gelten jeweils für alle a, b, c ∈ R die
folgenden Rechengesetze:
(A1) (a + b) + c = a + (b + c)
(A2) a + b = b + a
(A3) a + 0 = a
(Assoziativgesetz der Addition)
(Kommutativgesetz der Addition)
(0 ist das neutrale Element der Addition)
(A4) Zu a existiert genau ein x ∈ R mit a + x = 0. Für dies Element schreibt man
−a. Es ist das zu a inverse Element bezüglich der Addition.
(M1) (a · b) · c = a · (b · c)
(M2) a · b = b · a
(M3) a · 1 = a
(Assoziativgesetz der Multiplikation)
(Kommutativgesetz der Multiplikation)
(1 ist das neutrale Element der Multiplikation)
(M4) Zu a 6= 0 existiert genau ein x ∈ R mit a · x = 1. Für dies inverse Element
schreibt man a−1 oder a1 . (inverses Element der Multiplikation)
(D) a · (b + c) = a · b + a · c (Distributivgesetz)
Die Axiome (A1)-(A4) werden zu der Aussage zusammengefasst, dass R mit der
Addition eine kommutative Gruppe bildet. Und die Axiome (M1)-(M4) besagen,
dass R \ {0} mit der Multiplikation ebenfalls eine Gruppe ist. Das Distributivgesetz schliesslich koppelt Addition und Multiplikation miteinander. Die Operationen
Subtraktion und Division sind über die Aussagen (A4) und (M4) miterfasst. Das
Subtrahieren von a besteht darin, das additive Inverse von a zu addieren, und die
Division durch a lässt sich auch als Multiplikation mit dem multiplikativen Inversen
1
von a auffassen.
a
Die Körperaxiome gelten auch für die Menge der rationalen Zahlen. Die Menge
Q bildet also ebenfalls einen Körper. Die Menge der ganzen Zahlen dagegen ist kein
Körper. Für Z gelten zwar die Regeln (A1)-(A4), (M1)-(M3) und (D), aber die Regel
(M4) ist nicht erfüllt. Nur die Zahlen ±1 besitzen multiplikative Inverse in Z, die
übrigen Inversen der Multiplikation fehlen. Um sie zu erhalten, muss man man den
Zahlenbereich von Z auf Q erweitern.
Zusätzlich zu den Grundrechenarten verfügt R auch über die Relationen < und
>. Die bekannten Prinzipien, die für das Rechnen mit Ungleichungen gelten, lassen
sich auf das folgende Axiom zurückführen:
1.2. Eigenschaften der reellen Zahlen
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Anordnungsaxiom: Für jedes a ∈ R gilt genau eine der drei Möglichkeiten a > 0,
a = 0 oder a < 0, und für alle a, b ∈ R gilt:
a > 0 und b > 0
⇒ a + b > 0 und a · b > 0 .
Sowohl die Körperaxiome als auch das Anordnungsaxiom gelten auch für die
Menge Q der rationalen Zahlen. Im folgenden Axiom ist eine Eigenschaft der Menge
der reellen Zahlen festgehalten, die sie von der Menge der rationalen Zahlen unterscheidet.
Supremumsaxiom: Jede nichtleere, nach oben beschränkte Teilmenge M ⊂ R
besitzt in R eine kleinste obere Schranke, das sogenannte Supremum, notiert als
sup M.
Hierzu einige Erläuterungen: Unter einer oberen Schranke einer Menge M ⊂ R
versteht man eine Zahl S ∈ R mit x ≤ S für alle x ∈ M. Es ist also ein Wert,
der von keinem der Elemente aus M überschritten wird. Wenn es eine solche obere
Schranke gibt, nennt man M nach oben beschränkt. Eine obere Schranke S1 ist die
Kleinstmögliche für M, wenn S1 ≤ S für alle oberen Schranken von M gilt.
Entsprechend zu oberen werden untere Schranken definiert, und eine grösste
untere Schranke einer Menge M bezeichnet man als Infimum und schreibt dafür
inf M. Ist M nach unten beschränkt, so gilt offenbar:
inf M = − sup(−M) .
(Hier steht −M für die Menge −M = {−x | x ∈ M}.) Daher folgt aus der Existenz
von Suprema auch die Existenz von Infima für nach unten beschränkte Mengen.
1.2.2 Beispiele (1) Ist A ⊂ R eine endliche Teilmenge, so ist das Supremum von
A gerade das grösste Element und das Infimum von A das kleinste Element
von A.
(2) Sei M = [a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} ein abgeschlossenes Intervall (a ≤ b ∈ R
festgewählt). Dann ist inf M = a und sup M = b.
(3) Sei M =]a, b[= {x ∈ R | a < x < b} ein offenes Intervall (a < b ∈ R
festgewählt). Wir verwenden auch die Notation ]a, b[= (a, b). Dann gilt wie
im vorigen Beispiel inf M = a und sup M = b. Weder das Infimum noch das
Supremum gehören in diesem Fall also zu der Menge M selbst dazu.
Zur Begründung: Nach Definition ist a eine untere Schranke von M. Nehmen
wir jetzt an, es gäbe eine noch grössere untere Schranke, etwa S. Da a+b
∈ M,
2
a+S
gilt a < S ≤ a+b
<
b.
Der
Mittelwert
c
=
zwischen
a
und
S
liegt
ebenfalls
2
2
in M, aber c < S. Also kann S doch keine untere Schranke für M sein. Damit
ist gezeigt a = inf M. Entsprechendes gilt für das Supremum. q.e.d.
Aus dem Supremumsaxiom ergeben sich auch wichtige Folgerungen für die natürlichen Zahlen.
Archimedische Eigenschaft: Zu jeder reellen Zahl R existiert eine natürliche
Zahl n, die noch grösser ist als R.
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Kapitel 1. Mathematisches Handwerkszeug
Beweis. Wäre R eine obere Schranke für alle natürlichen Zahlen, dann wäre N beschränkt und hätte ein Supremum S in R. Weil mit n auch n + 1 eine natürliche
Zahl ist, könnten wir schliessen: n + 1 ≤ S für alle n ∈ N. Daraus folgt n ≤ S − 1
für alle n ∈ N. Die Zahl S − 1 wäre also ebenfalls eine obere Schranke für N, im
Widerspruch dazu dass S bereits die kleinste obere Schranke ist.
q.e.d.
Für den Körper Q gibt es keine Entsprechung des Supremumsaxioms. Denn zum
Beispiel die Teilmenge M = {q ∈ Q | q 2 < 2} ⊂ Q√hat in Q keine kleinste obere
Schranke. Sie hat zwar in R ein Supremum, nämlich 2, aber diese Zahl ist, wie wir
wissen, irrational.
Die Körperaxiome, das Anordnungsaxiom und das Supremumsaxiom zusammen
legen den Körper R eindeutig fest. Der Übergang von Q zu R ist ein Prozess der
Vervollständigung des Zahlenvorrats, und zwar werden soviele Zahlen hinzugefügt,
dass es damit möglich wird, alle Abstände auf einer Geraden zu vermessen. Allerdings ist die Vorstellung irreführend, man brauche nur einige wenige Lücken im
Zahlenstrahl zwischen den rationalen Zahlen zu füllen. Tatsächlich gibt es nämlich
wesentlich mehr irrationale Zahlen als rationale Zahlen. Diese Aussage soll nun präzisiert werden. Dazu brauchen wir zunächst einen Begriff dafür, die Grössenordnung
unendlicher Mengen miteinander vergleichen zu können.
1.2.3 Definition Zwei Mengen A, B nennt man gleichmächtig, wenn es eine Zuordnung f : A → B gibt, die jedem Element a ∈ A genau ein Element f (a) aus B
zuordnet, und zwar so dass es zu jedem Element b ∈ B genau ein Element a ∈ A
gibt mit b = f (a). Die Zuordnung f wird dann als bijektive Abbildung oder als
1 : 1-Zuordnung von A nach B bezeichnet.
a
b
A
B
1.2.4 Beispiele
1. Eine Menge M ist genau dann endlich, wenn es eine Zahl
n ∈ N und eine bijektive Abbildung f : {1, 2, . . . , n} → M gibt. Dann hat M
natürlich offenbar n Elemente, und die Abbildung besteht eigentlich darin, die
Elemente von M durchzuzählen.
2. Zwei endliche Mengen sind genau dann gleichmächtig, wenn sie gleichviele
Elemente enthalten.
3. Z und N sind gleichmächtig, denn wir können die ganzen Zahlen folgendermassen anordnen: Z = {0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, . . .}. Diese Liste entspricht der
Abbildung f (2k) = k, f (2k + 1) = −k für alle k ∈ N.
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4. Es gibt auch echte Teilmengen von N, die dennoch gleichmächtig sind wie N,
ein Beispiel ist die Menge der geraden Zahlen. Denn die Abbildung f : N →
2N = {2, 4, 6, . . .}, f (k) = 2k ist bijektiv.
1.2.5 Definition Eine unendliche Menge M heisst abzählbar, wenn sie gleichmächtig
ist wie die Menge der natürlichen Zahlen. Ist dies nicht der Fall, so heisst M
überabzählbar.
Die Menge der ganzen Zahlen ist, wie wir eben gesehen haben, abzählbar. Die
Menge der positiven rationalen Zahlen Q>0 ist ebenfalls abzählbar. Um dies einzusehen, schreiben wir die Brüche in den positiven Quadranten eines zweidimensionalen
Koordinatensystems, und zwar den Bruch p/q an die Stelle mit x = p und y = q.
Nun notieren wir die Brüche in der Reihenfolge, die sich ergibt, wenn wir folgenden
Weg verfolgen:
..
.
..
.
..
.
..
.
..
.
1/5 → 2/5 → 3/5 → 4/5 → 5/5
↑
↓
1/4 ← 2/4 ← 3/4 ← 4/4
5/4
↑
↓
1/3 → 2/3 → 3/3
4/3
5/3
↑
↓
↑
↓
1/2 ← 2/2
3/2
4/2
5/2
↑
↓
↑
↓
1/1 → 2/1
3/1 → 4/1
5/1 →
...
...
...
...
6/1 . . .
Wir erhalten eine Liste von Brüchen mit vielen Wiederholungen. Streichen wir darin
noch sämtliche Wiederholungen, so bleibt eine Liste aller positiven rationalen Zahlen
übrig. Diese Liste kann man auch als bijektive Zuordnung von N nach Q>0 auffassen.
Man kann nun - ähnlich wie im Beispiel Z - schliessen, dass auch die Menge aller
rationalen Zahlen abzählbar ist. Im Gegensatz dazu ist die Menge der reellen Zahlen
nicht abzählbar und es gibt viel mehr irrationale als rationale Zahlen.
√
1.2.6 Beispiele Alle rationalen Vielfachen von 2 sind irrational. Allgemeiner
n√
p (n, m ∈ N, p Primzahl) irrational.
sind alle Zahlen der Form ± m
Gehen wir einmal davon aus, wir kennen die Beschreibung der reellen Zahlen
durch Dezimalentwicklungen. Ist eine Zahl rational, so ist ihre Dezimalentwicklung
entweder endlich oder periodisch. Etwa ist 17 = 0, 142857. Die Entwicklung muss
1
nicht unbedingt eindeutig sein, zum Beispiel hat die Zahl 10
die beiden Darstellungen 0, 1 oder 0, 09 und 0, 12 = 0, 119. Aber Mehrdeutigkeiten treten nur im Zusammenhang mit einer periodischen 9 auf. Und bei zwei verschiedenen Schreibweisen
für dieselbe Zahl unterscheiden sich Ziffern an entsprechenden Stellen entweder um
1 oder um 9 oder sie stimmen überein. Ist eine Zahl irrational, so ist ihre Dezimalentwicklung eindeutig festgelegt und zwar ist sie in diesem Fall unendlich und nicht
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periodisch. Wir können also sagen, dass rationale Zahlen in gewissem Sinne endlichen Listen von Ziffern entsprechen, während irrationale Zahlen durch unendliche
Listen von Ziffern festgelegt werden. Es ist also plausibel, dass es wesentlich mehr
irrationale als rationale Zahlen gibt. Dies wollen wir nun auch beweisen.
1.2.7 Satz Die Menge R ist überabzählbar .
Beweis. Wir zeigen die Behauptung durch Widerspruch. Angenommen, die Menge
der reellen Zahlen wäre abzählbar. Dann gäbe es eine Möglichkeit, die reellen Zahlen
durchzunumerieren und zu einer Liste anzuordnen. Gehen wir nun von einer solchen
fiktiven Liste aus. Darin streichen wir zunächst alle Zahlen r ≤ 0 und r ≥ 1. Übrig
bleibt eine Liste r1 , r2 , r3 , . . . aller Zahlen aus dem offenen Intervall zwischen 0 und
1. Wir schreiben nun die Dezimalentwicklungen dieser Zahlen untereinander. Die
Liste könnte so aussehen:
r1 = 0, 1 1 1 1 . . .
r2 = 0, 1 1 2 2 . . .
r3 = 0, 1 2 3 4 . . .
..
.
rj = 0, rj1rj2 rj3 rj4 . . .
..
.
Dabei bezeichnet jeweils rjk die k-te Ziffer hinter dem Komma in der Dezimalentwicklung von rj .
Jetzt konstruieren wir eine neue Zahl a = 0, a1 a2 a3 a4 . . . ∈]0, 1[ aus der Liste der
gewählten Dezimalentwicklungen, indem wir setzen:
(
rkk + 2 falls rkk < 8
ak := 0
falls rkk = 8 .
1
falls rkk = 9
Das bedeutet, wenn die Liste mit den angegebenen Zahlen beginnt: a = 0, 335 . . .
Vergleichen wir a nun mit den Zahlen aus der Liste. Die Zahl a stimmt nicht mit r1
überein, denn bereits an der ersten Stelle hinter dem Komma stehen verschiedene
Ziffern, die sich auch niemals um genau 1 oder 9 unterscheiden. Es kann sich also
nicht um zwei Schreibweisen derselben Zahl handeln.
Weiter ist a 6= r2 wie der Vergleich der Ziffern an der zweiten Stelle hinter dem
Komma zeigt. Allgemein gilt a 6= rj für alle j, dazu reicht es, jeweils die Ziffern an
der j-ten Stelle hinter dem Komma miteinander zu vergleichen. Also kommt a nicht
in der Liste der Zahlen r1 , r2 , r3 , . . . vor. Diese Liste sollte aber alle Zahlen zwischen
0 und 1 enthalten. Also haben wir einen Widerspruch.
q.e.d.