1 Zahlen

1
Zahlen
The first nonabsolute number is the number of people for whom the
table is reserved. This will vary during the course of the first three telephone calls to the restaurant, and then bear no apparent relation to the
number of people who actually turn up, or to the number of people who
subsequently join them after the show/match/party/gig, or to the number
of people who leave when they see who else has turned up.
The second nonabsolute number is the given time of arrival, which
is now known to be one of the most bizarre of mathematical concepts,
a recipriversexcluson, a number whose existence can only be defined as
being anything other than itself. In other words, the given time of arrival
is the one moment of time at which it is impossible that any member of
the party will arrive. Recipriversexclusons now play a vital part in many
branches of math, including statistics and accountancy and also form the
basic equations used to engineer the Somebody Else’s Problem field.
The third and most mysterious piece of nonabsoluteness of all lies in
the relationship between the number of items on the bill, the cost of each
item, the number of people at the table and what they are each prepared
to pay for. (The number of people who have actually brought any money
is only a subphenomenon of this field.)
Douglas Adams (1952- 2001) Life, the Universe and Everything.
1.1
Natürliche Zahlen
Die Menge
N = {1, 2, . . . , 2002, . . .}
ausgerüstet mit den beiden Operationen Addition und Multiplikation bildet die
Menge der natürlichen Zahlen. Die Operationen erfüllen die Rechenregeln
• Kommutativität a + b = b + a und ab = ba.
• Assoziativität (a+b)+c = a+(b+c) := a+b+c und (ab)c = a(bc) := abc.
• Distributivität a(b + c) = ab + ac.
1.1.1
Vollständige Induktion
Beweisprinzip der vollständigen Induktion:
Zu jedem n ∈ N sei eine Aussage A(n) gegeben. A(n) ist richtig für jedes n ∈ N,
falls gilt:
1
• Induktionsanfang: A(1) ist richtig.
• Induktionsschluß: A(n) ⇒ A(n + 1).
Konstruktionsprinzip der vollständigen Induktion:
Jedem n ∈ N wird eindeutig ein Element f (n) einer Menge X zugeordnet durch
• die Angabe von f (1) und
• eine Vorschrift F , die für jedes n ∈ N das Element f (n+1) aus f (1), . . . , f (n)
berechnet: f (n + 1) = F (f (1), . . . , f (n)).
Beispiele für dieses auch rekursive Definition genannte Konstruktionsprinzip
sind die Definition von Summen- und Produktzeichen und Potenzen mit natürlichen Exponenten.
1.1.2
Kombinatorische Grundaufgaben
Satz 1 Die Anzahl der Anordnungen von n verschiedenen Elementen ist n!.
Dies ist gleichwertig mit dem folgenden Satz:
Satz 2 Die Anzahl der Permutationen n verschiedener Elemente ist n!.
Binomialkoeffizienten:
¡n¢
k
=
n!
k!(n−k)!
Satz
¡ ¢3 Die Anzahl der k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge
ist nk .
Satz 4 (Rekursionsformel für Binomialkoeffizienten)
µ
¶ µ ¶ µ
¶
n+1
n
n
=
+
.
k+1
k
k+1
Satz 5 (Binomialentwicklung) Für jede Zahl x und n ∈ N gilt
n µ ¶
X
n k
n
(1 + x) =
x .
k
k=0
Bemerkung: Dieser Satz gilt in jedem Körper, insbesondere also für reelle und
komplexe Zahlen x.
2
1.1.3
Ganze und rationale Zahlen
entstehen in natürlicher Weise aus N aus dem Bedürfnis, Subtraktion (ganze
Zahlen) und Division (rationale Zahlen) uneingeschränkt ausführen zu können.
• Subtraktion à Ring der ganzen Zahlen Z = {0, ±1, ±2, . . .}
• Division à Körper der rationalen Zahlen Q = { m
n : m ∈ Z, n ∈ N}
3
1.2
Der Körper der reellen Zahlen
Satz 6 Es gibt nichtrationale Zahlen, zum Beispiel das Verhältnis von Diagonale zu Seite im regelmäßigen Fünfeck, der goldene Schnitt.
à axiomatische Einführung der reellen Zahlen R durch
1.2.1
Körperaxiome
1.2.2
Anordnungsaxiome
1.2.3
Vollständigkeit
Körperaxiome
Assoziativität
Kommutativität
Distributivität
neutrale Elemente
inverse Elemente
Anordnungsaxiome
(a + b) + c = a + (b + c)
(ab)c = a(bc)
a+b=b+a
ab = ba
a(b + c) = ab + ac
Es gibt Elemente 0 6= 1 mit den Eigenschaften
a+0=a
a·1=a
Zu jedem a existieren −a und (im Fall a =
6 0) a−1 mit
−1
a + (−a) = 0
a·a =1
Es existiert eine Teilmenge R+ mit den beiden
Eigenschaften:
Für jedes a gilt genau eine der Beziehungen
a ∈ R+ , a = 0, −a ∈ R+ .
Aus a, b ∈ R+ folgt a + b ∈ R+ und ab ∈ R+ .
Vollständigkeit
Jede nichtleere, nach oben beschränkte Menge
besitzt ein Supremum.
Damit ist der Zahlenbereich R (bis auf Isomorphie = Strukturgleichheit) eindeutig bestimmt, d.h. hat man zwei Strukturen R und R mit obigen Eigenschaften,
so gibt es eine bijektive Abbildung f : R −→ R mit den folgenden Eigenschaften:
4
• f (a + b) = f (a)+f (b) und f (a · b) = f (a)·f (b)
• f (0) = 0 und f (1) = 1
• f (−a) = −f (a) und f (a−1 ) = f (a)−1
• f (R+ ) = R+
• f (sup A) = supf (A)
Ordnung: a < b bedeutet b − a ∈ R+
Die folgenden bekannten Regeln für das Rechnen mit Ungleichungen ergeben
sich direkt aus den Körper- und Anordnungsaxiomen.
• Transitivität: a < b, b < c ⇒ a < c
• a<b⇒a+c<b+c
• a < b ⇒ −b < −a
• a < b, 0 < c ⇒ ac < bc
• a < b, c < 0 ⇒ bc < ac
• a 6= 0 ⇒ 0 < a2 , insbesondere 0 < 1
• ...
Absolutbetrag
½
|a| =
Vorzeichen
a
−a
falls a ≥ 0
falls a < 0


sgn a =
1 falls
0 falls

−1 falls
a>0
a=0
a<0
Sind A, B ⊂ R und x ∈ R, so schreiben wir A ≤ x, falls a ≤ x für alle a ∈ A
gilt. Analog sind x ≤ A, A < x, x < A . . . definiert.
Definitionen Wenn A ≤ x(x ≤ A) gilt, heißt x obere (untere) Schranke von A.
A heißt im Falle der Existenz einer oberen (unteren) Schranke nach oben (unten)
beschränkt. A heißt beschränkt, falls A sowohl nach oben als auch nach unten
beschränkt ist. Ist x ∈ A obere (untere) Schranke von A, so heißt x Maximum
(Minimum) von A. Die reelle Zahl x ist kleinste obere (untere) Schranke oder
Supremum (Infimum) von A (x = sup A bzw. x = inf A), falls
5
• x obere (untere) Schranke von A ist und
• A ≤ y ⇒ x ≤ y bzw. y ≤ A ⇒ y ≤ x.
1.2.4
N als kleinste induktive Menge von R
Eine Menge A ⊂ R heißt induktiv, falls 1 ∈ A gilt und a ∈ A ⇒ a + 1 ∈ A für
jedes a gilt.
Dann kann man definieren
\
N=
A
A.
induktiv
Insbesondere ist N selbst induktiv, also die kleinste induktive Menge. Alle Eigenschaften von N können dann aus den Axiomen der reellen Zahlen gewonnen
werden.
Satz 7 N ist nicht nach oben beschränkt.
Folgerung (Archimedische Eigenschaft von R) Zu a, b ∈ R+ existiert ein
n ∈ N mit na > b.
1.2.5
Endlichkeit, Abzählbarkeit, Überabzählbarkeit
Zwei Mengen A und B heißen gleichmächtig, falls es eine Bijektion von A auf B
gibt. Eine Menge A heißt abzählbar, wenn A gleichmächtig zu N ist. Eine Menge
heißt überabzählbar, wenn sie weder leer, endlich noch abzählbar ist.
Beispiele: Q, Z sind abzählbar.
Satz 8 R ist überabzählbar.
à Cantors Diagonalverfahren!
6
1.3
Komplexe Zahlen
Komplexe Zahlen entstanden aus dem Bedürfnis, auch Gleichungen wie z 2 +1 =
0 eine Lösung zuzuordnen.
1.3.1
Der Körper C
Eine komplexe Zahl ist ein Element z = (x, y) der Produktmenge R2 = R × R,
wobei komplexe Zahlen folgendermaßen addiert und multipliziert werden:
(x, y) + (u, v) = (x + u, y + v)
(x, y) · (u, v) = (xu − yv, xv + yu).
Satz 9 Die Menge der komplexen Zahlen mit den definierten Operationen Addition und Multiplikation ist ein Körper. Diesen Körper bezeichnet man mit
C.
R findet man wieder als Unterkörper aller komplexen Zahlen der Gestalt (x, 0), x ∈
R. Deshalb schreibt man wieder x statt (x, 0). Mit der Konvention i = (0, 1)
läßt sich dann jede komplexe Zahl z = (x, y) in der üblicheren Schreibweise
z = x + iy schreiben. x, y heißen Realteil und Imaginärteil von z, <z und =z. i
heißt imaginäre Einheit. i und −i sind die Lösungen der Gleichung z 2 + 1 = 0.
Konjugation: z = x + iy 7→ z = x − iy
p
√
Betrag: |z| = zz = x2 + y 2
1.3.2
Die komplexe Zahlenebene
Die komplexen Zahlen und das Rechnen mit ihnen kann man anschaulich in der
komplexen Zahlenebene (auch Gaußsche Zahlenebene genannt) darstellen. Dazu
ordnet man der komplexen Zahl z = x + iy den Punkt in der Koordinatenebene
mit Koordinaten (x, y) zu.
Das folgende Wörterbuch“ übersetzt Begriffe für komplexe Zahlen in die ent”
sprechende geometrische Interpretation für Punkte der Zahlenebene.
7
reelle Zahlen
Punkte der x-Achse
rein imaginäre Zahlen
Punkte der y-Achse
z 7→ −z
am Ursprung spiegeln
z 7→ z
an der x-Achse spiegeln
z 7→ |z|
Abstand vom Ursprung
(z1 , z2 ) 7→ |z1 − z2 |
Abstand der Punkte z1 und z2
Addition
Vektoraddition
Dreiecksungleichung
Dreiecksungleichung
Multiplikation
ist eine Ähnlichkeitstransformation
Polarkoordinaten: z = r(cos ϕ + i sin ϕ) =: eiϕ . Hierbei ist r = |z|, und ϕ
heißt Argument von z. Das Argument von z 6= 0 ist bis auf Vielfache von 2π
eindeutig bestimmt.
1.3.3
Potenzen und Wurzeln
Ist z = r(cos ϕ + i sin ϕ) in Polarkoordinaten gegeben, gestaltet sich das Berechnen von Potenzen und Wurzeln einfach:
Formel von Moivre: z n = rn (cos(nϕ) + i sin(nϕ))
Satz 10 Die n-ten Einheitswurzeln Für n ∈ N hat die Gleichung z n = 1 genau
die n Lösungen ζ1 , . . . , ζn mit
ζk = cos
2πik
2πik
+ i sin
.
n
n
Es gilt ζk = ζ1k , insbesondere ζn = 1.
à Die n-ten Einheitswurzeln bilden in der Zahlenebene ein regelmäßiges n-Eck
auf dem Einheitskreis S1 = {z ∈ C : |z| = 1}.
8