Blatt 4 - Fachrichtung Mathematik

UNIVERSITÄT DES SAARLANDES
Fachrichtung 6.1 (Mathematik)
Prof. Dr. Mark Groves
Benedikt Hewer
Lineare Algebra 1, WS 2016/17
Übungsblatt 4
1. Ein Körper (K, +, .) heißt geordnet, falls es eine Totalordnung auf K gibt, die die
Monotoniegesetze
a ≺ b ⇒ a + c ≺ b + c,
a ≺ b, 0 ≺ c ⇒ a.c ≺ b.c
für alle a, b, c ∈ K erfüllt.
(a) Es sei (K, +, .) ein geordneter Körper mit Ordnung und x, y, z ∈ K. Zeigen Sie:
(i) x + z ≺ y + z ⇒ x ≺ y
(vi) 1 0
(ii) x ≺ y ⇒ −y ≺ −x
(vii) x.y 0 für alle x, y ≺ 0
(iii) 0 ≺ x ≺ y ⇒ 0 ≺ y −1 ≺ x−1
(viii) 0 ≺ x ≺ 1 ⇒ x.x ≺ x
(iv) x ≺ y, z ≺ 0 ⇒ y.z ≺ x.z
(ix) x 1 ⇒ x.x x
(v) x.x 0 für jedes x 6= 0
(b) Zeigen Sie, dass die Charakteristik eines geordneten Körpers gleich Null ist.
(c) Zeigen Sie, dass C mit den üblichen Definitionen von Addition und Multiplikation kein
geordneter Körper ist.
2. Zwei Mengen M1 , M2 heißen gleichmächtig, wenn es eine Bijektion M1 → M2 gibt. Nun
sei I ein beliebiges Intervall. Zeigen Sie, dass I und R gleichmächtig sind.
[Hinweis: Betrachten Sie (halb-)offene und (halb-)abgeschlossene sowie endliche und unendliche Intervalle getrennt.]
3. (a) Beweisen Sie, dass die Menge aller endlichen Teilmengen von N abzählbar unendlich
ist.
(b) Beweisen Sie, dass die Menge P (N) aller Teilmengen von N überabzählbar ist.
[Hinweis: Zeigen Sie durch Widerspruch, dass {n ∈ N : n 6∈ f (n)} nicht in der
Bildmenge einer Funktion f : N → P (N) liegt.]
4. Im Spiel ‘Mini-Tetris’ geht es darum, ein 2 × n Rechteck mit den folgenden Bausteinen
lückenlos und ohne Überlappungen zu belegen:
Es sei Tn die Anzahl der verschiedenen Möglichkeiten, mit diesen Bausteinen ein 2 × n
Rechteck so zu belegen.
Bestimmen Sie T1 und T2 , finden Sie eine Formel für Tn für n ≥ 3 als Funktion von Tn−1
und Tn−2 , und beweisen Sie durch starke Induktion, dass
1
Tn = [2n+1 + (−1)n ]
3
ist.
5. Es seien a ∈ Z und n ∈ N. Zeigen Sie, dass es eindeutige Zahlen q ∈ Z und r ∈
{0, . . . , n − 1} derart gibt, dass
a = qn + r.
[Hinweis: Betrachten Sie die Teilmenge
R = {r ∈ N0 : a = qn + r für irgendein q ∈ Z}
der wohlgeordneten Menge (N0 , ≤).