Ubungen zur Vorlesung `Linear Algebra I`

Übungen zur Vorlesung ‘Linear Algebra I’
V. Hoskins, V. Trageser (WS 2016/2017)
Übungsblatt 13
Abgabe: Bis Freitag, den 03.02.2017, 16 Uhr.
Im Folgenden sei K ein Körper.
Aufgabe 1. (12 Punkte) Seien U , V und W Vektorräume über einem Körper K und
f : V → W und g : U → V lineare Abbildungen. Beweisen Sie, die folgende Aussagen:
a) f : W ∗ → V ∗ ist K-linear.
b) (f ◦ g)∗ = g ∗ ◦ f ∗
c) Wenn f : V → W ein linearer Isomorphismus ist, dann ist f ∗ : W ∗ → V ∗ ein linearer
Isomorphismus und es gilt (f ∗ )−1 = (f −1 )∗ .
d) Die Abbildung
HomK (V, W ) → HomK (W ∗ , V ∗ ),
f 7→ f ∗
ist K-linear.
Aufgabe 2. (10 Punkte) Sei K ein Körper und D : Matn×n (K) → K eine Determinante.
Eine Matrix A = (aij ) heißt obere (bzw. untere) Dreiecksmatrix, wenn aij = 0 für alle
i > j (bzw. i < j). Wenn A eine obere oder untere Dreiecksmatrix ist, zeigen Sie dass
D(A) =
n
Y
aii := a11 · · · ann .
i=1
Aufgabe 3. (8 Punkte) Sei n ∈ N∗ . Zur Erinnerung: Ein Fehlstand von σ ∈ Sn ist ein
Tupel (i, j) ∈ {1, . . . , n}2 mit i < j und σ(i) > σ(j). Sei FS(σ) die Anzahl der Fehlstände
von σ. Dann definieren wir das Signum (oder das Vorzeichen)
sgn(σ) = (−1)FS(σ) .
Zeigen Sie, dass
sgn(σ) =
Y
1≤i<j≤n
σ(j) − σ(i)
.
j−i
Bitte wenden!
1
Aufgabe 4. (5 + 5 Punkte) Sei R ein kommutativer Ring mit 1 und sei n ∈ N∗ . Beweisen
Sie, dass die Abbildung


aσ(1)
 aσ(2) 
Sn × Matn×n (R) → Matn×n (R)


mit σ · A =  . 
(σ, A)
7→
σ · A,
 .. 
aσ(n)
eine Gruppenwirkung von Sn auf Matn×n (R) definiert. Wenn D : Matn×n (R) → R eine
Determinante ist, beweisen Sie, dass für σ ∈ Sn und A ∈ Matn×n (R):
D(σ · A) = sgn(σ)D(A).
[Hinweis: beweisen Sie diese Gleichung zuerst für eine Transposition.]
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