Analysis III :¨Ubungsblatt 1

Prof. Dr. Christoph Bohle
Tübingen WS 2011/12
Analysis III : Übungsblatt 1
Dr. Sebastian Heller
13. Oktober 2011
Diese Aufgaben sind schriftlich auszuarbeiten und am 25. Oktober vor
der Vorlesung abzugeben. Für jede Aufgabe gibt es 4 Punkte.
Aufgabe 1. Die Menge aller reellen Zahlen, in deren Dezimaldarstellung die
Ziffer 2 vorkommt, ist Borel–messbar.
Aufgabe 2. Jede der folgenden Mengen erzeugt die Borel–σ–Algebra des Rn :
• die Menge der abgeschlossenen Teilmengen des Rn ,
• die Menge der kompakten Teilmengen des Rn ,
• die Menge der halboffenen Quader in Rn .
Aufgabe 3. Jede monotone Funktion f : R → R ist Borel–messbar.
Aufgabe 4. Sei Ω eine überabzählbare Menge. Zeigen Sie, daß
A = {A ⊂ Ω | A oder Ac ist abzählbar }
eine σ–Algebra ist und
(
0
µ(A) =
1
ein Maß auf A definiert.
falls A abzählbar
falls Ac abzählbar