Serie 5 - D-MATH

ETH Zürich FS 2013
D-MATH
Hans Rudolf Künsch
Koordinator
Blanka Horvath
Wahrscheinlichkeit & Statistik
Serie 5
1. Für s ∈ (1, ∞) ist die
Zetafunktion gegeben durch die konverPRiemann’sche
∞
1
gente Reihe ζ(s) = n=1 ns . Wir wollen
ζ(s) = Q∞
i=1
1
1 − p−s
i
s ∈ (1, ∞)
(1)
zeigen, wobei p1 , p2 , p3 , . . . = 2, 3, 5, . . . eine Durchnummerierung der Primzahlen
darstellt. Sei s ∈ (1, ∞) fix:
N N P
a) Zeigen Sie, dass ( , P( ), ) mit
1
P(N ) := ζ(s)
N
X 1
,
ns
n∈N
N ∈ P( )
N
ein Wahrscheinlichkeitsraum ist, wobei N = 1, 2, 3, ... und P( ) die Potenzmenge von bezeichnet (i.e. N ⊆ ).
N
b) Sei p eine Primzahl Np :=
(Np ).
P
N
{n ∈ N | n ist teilbar durch p}. Berechnen Sie
c) Zeigen Sie, dass die Familie von Ereignissen (Np )p prim unabhängig ist.
d) Berechnen Sie
P
!
\
Npc
p prim
mit Hilfe von c) und der Stetigkeitseigenschaft von
und folgern Sie daraus (1).
P (Satz 3.1 im Skript),
2. Zeigen Sie die folgende Approximation für die Poissonwahrscheinlichkeiten
pλ (k) = exp (−λ)
λk
k!
1
(k − λ)2
exp −
=√
2λ
2πλ
(1 + rλ (k)) ,
Bitte wenden!
wobei
√
sup{|rλ (k)| ; |k − λ| ≤ A λ} → 0. ∀A > 0,
(λ → ∞).
Hinweis: Verwenden Sie die gleichen Argumente wie im Beweis von Satz 2.11
im Skript, d.h. die Stirling-Formel für k!, dann Umschreiben mit Hilfe einer
Funktion, die von λk abhängt, und Taylorentwicklung unter Berücksichtigung
dass λk → 1.
3. Sei F die Mengen-Algebra gegeben durch die endlichen und koendlichen Teilmengen von einem unendlichen Ereignisraum Ω, das heisst
F := {A ⊂ Ω : |A| < ℵ0
oder |Ac | < ℵ0 }
N
wobei ℵ0 = | |.
P ist definiert auf F als
(
0 A ist endlich
(A) := I{|Ac | < ℵ0 } =
1 Ac ist endlich.
P
Beweise:
P ist endlich additiv;
b) P ist nicht abzählbar additiv wenn Ω abzählbar ist;
c) P ist abzählbar additiv wenn Ω überabzählbar ist.
a)
Sei nun F die σ-Algebra gegeben durch die abzählbaren und koabzählbaren (d.h.
das Komplement ist abzählbar) Teilmengen von einem überabzählbaren Ω.
Wir definieren (A) := I{|Ac | ≤ ℵ0 } = I{Ac ist abzählbar}.
P
d) Beweise, dass
P abzählbar additiv ist.
4. R-Aufgabe. In dieser Aufgabe vergleichen wir die Binomial- mit Poisson Verteilung. Wir betrachten Y ∼ Pois(λ) und Xi ∼ Binom(ni , p = λ/ni ) wobei λ = 5
und n = (10, 20, 50, 100, 500)
P
a) Plotte (Y = k) und
(mit type=’l’).
P(Xi = k), i = 1, . . . , 5 für k = 0, . . . , 20
b) Plotte den relativen Fehler
P(Xi = k) − 1
P(Y = k)
(i = 1, . . . , 5)
für k = 0, . . . , 20.
Siehe nächstes Blatt!
Abgabe der R-Aufgabe:
per Email an die jeweilige AssistentIn bis Dienstag 13 Uhr, im Format:
familienname vorname serieNr.R
Webseite: http : //www.math.ethz.ch/education/bachelor/lectures/f s2013/math/wrs /