¨Ubungen zur Vorlesung Wahrscheinlichkeitstheorie II Bedingte

Löhr/Winter
Wintersemester 2010/11
Übungen zur Vorlesung Wahrscheinlichkeitstheorie II
Übungsblatt 4
Bedingte Dichten & Übergangswahrscheinlichkeiten
Aufgabe 4.1 (bedingte Dichten).
(a) Seien X, Y Zufallsvariablen mit Werten in [0, 1], deren gemeinsame Verteilung die Dichte
f (x, y) = x + y besitzt. Bestimme die bedingte Dichte von X gegeben Y und E(X | Y ).
(b) Seien X, Y unabhängig exponentialverteilt mit Parameter 1, also P(X > x) = e−x . Sei
Z = X + Y . Berechne die bedingte Dichte von X gegeben Z und E(X | Z).
Aufgabe 4.2 (Übergangswahrscheinlichkeiten). Sei K : R × B(R) → [0, 1] eine Übergangswahrscheinlichkeit von R nach R und µ ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf R. Definiere
Wahrscheinlichkeitsmaße µK auf R und µ ⊗ K auf R2 durch
Z
Z
K(x, B) µ(dx)
µK(B) =
K(x, B) µ(dx)
und
µ ⊗ K(A × B) =
A
für A, B ∈ B(R). Seien X, Y ZV mit gemeinsamer Verteilung µ ⊗ K.
(a) Gib die Verteilung von X und die Verteilung von Y an.
(b) Gib die bedingte Verteilung von Y gegeben X an.
(c) Zeige: Ist L eine weitere Übergangswahrscheinlichkeit von R nach R mit µ ⊗ K = µ ⊗ L,
so sind die Maße K(x, · ) und L(x, · ) µ-fast sicher gleich.
Aufgabe 4.3 (reguläre bedingte Wahrscheinlichkeiten).
(a) Gib einen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) und eine Teil-σ-Algebra F ⊆ A mit folgender Eigenschaft an: Es gibt zwei reguläre Versionen der Bedingten Wahrscheinlichkeit gegeben F, die nirgends auf Ω übereinstimmen. Finde also Übergangswahrscheinlichkeiten
K, L mit K(ω, A) = P(A | F)(ω) = L(ω, A) f.s. für alle A ∈ A, aber K(ω, · ) 6= L(ω, · )
für alle ω ∈ Ω.
Hinweis: Setze Ω = [0, 1], A = { A ⊆ Ω | A abzählbar oder Ω \ A abzählbar } und F =
A. Natürlich sollte P nicht diskret sein.
(b) Sei A abzählbar erzeut. Eine reguläre Version der bedingten Wahrscheinlichkeit gegeben
F (deren Existenz wir voraussetzen) heisst proper, falls
P(F | F)(ω) = 1
∀ω ∈ F ∈ F
(1)
und fast proper, falls (1) fast sicher gilt, also immer wenn ω 6∈ N für eine Nullmenge
N die nicht von F abhängen darf.
Zeige: Ist F abzählbar erzeugt, so ist P( · | F) fast proper.
Bemerkung: Ist F nicht abzählbar erzeugt, so kann man zeigen, dass P( · | F) nicht
proper ist.
Abgabe: Di, 16.11. in der Übungsstunde
Arbeitsgruppenvorträge:
Am 16.11. gibt Monika Meise einen Vortrag.
Hierzu ergeht eine herzliche Einladung. Zeit: 16.00 – 17.00. Raum: S05 T03 B72