Ubungsblatt 5 - Universität Basel

Universität Basel
Prof. Dr. Enno Lenzmann
Infinitesimalrechnung I
19.10.2012
Übungsblatt 5
Abgabe: Am Freitag den 26.10. in der Vorlesung oder bis 12:00 Uhr im Mathematischen Institut (in das jeweilige Assistentenfach beim Eingang).
Bemerkung: Wie in der Vorlesung setzen wir ex := exp(x) für x ∈ R.
Aufgabe 1. Für x, y ∈ R und n ∈ N zeige die folgenden Aussagen:
√
a)
ex = ex/2 , b) ex 6= ey für x 6= y,
ex + ey
für x 6= y, d) lim nk e−n = 0 mit k ∈ N fest.
n→∞
2
Hinweis zu c): Eine der Ungleichungen aus Aufgabe 4 b) von Blatt 2 ist hilfreich.
c) e(x+y)/2 <
Aufgabe 2. Sei x ∈ R mit |x| < 1. Beweise die Identität
∞
X
1
=
(n + 1)xn .
(1 − x)2
n=0
Hinweis: Schreibe
1
1−x2
als Cauchy–Produkt zweier absolut konvergenter Reihen.
Aufgabe 3. Bestimme Infimum und Supremum der folgenden Mengen. Welche
dieser Mengen besitzen ein minimales oder ein maximales Element?
|x|
x
a)
: x ∈ R , b)
: x > −1 ,
1 + |x|
1+x
1 1
c)
x + : < x < 2 , d) x ∈ R : ∃y ∈ R mit (x + 1)2 + 5y 2 < 4 .
x 2
Aufgabe 4. Finde eine bijektive Abbildung φ : R → R∗ . Hierbei bezeichnet
R∗ = R \ {0}, d. h., die Menge der reellen Zahlen ohne die Null.
Hinweis: Finde zunächst eine bijektive Abbildung φ : N → N∗ , wobei N∗ = N \ {0}.
P∞
*Aufgabe
5. Finde ein Beispiel zweier
nicht-konvergenter Reihen n=0 an und
P∞
P∞
bn , so dass ihr Cauchy–Produkt n=0 cn konvergiert, wobei wie üblich cn =
Pn=0
n
k=0 ak bn−k gilt.
*Aufgabe 6. Eine Zahl x ∈ R heisst algebraisch, wenn es eine natürliche Zahl
n ≥ 1 und rationale Zahlen a1 , . . . , an ∈ Q gibt, so dass
xn + a1 xn−1 + · · · + an−1 x + an = 0.
D. h. eine reelle Zahl ist definitionsgemäss eine algebraische Zahl, falls sie Lösung
eines Polynomes vom Grad n ≥ 1 mit rationalen Koeffizienten ist. Beweise die
folgenden Aussagen:
a) Es gilt Q ( A. D. h. jede rationale Zahl ist algebraisch, aber es gibt auch
x ∈ A mit x 6∈ Q.
b) Die Menge A ⊂ R der algebraischen Zahlen ist abzählbar.
1
2
Hinweis zu b): Begründe, dass die Menge aller Polynome mit rationalen Koeffizienten abzählbar ist und benutze (ohne Beweis), dass ein Polynom vom Grad n
höchstens n Nullstellen hat.
Bemerkung: Eine Zahl x ∈ R heisst transzendent, wenn x keine algebraische Zahl
ist. Da die Menge der algebraischen Zahlen abzählbar ist und R überabzählbar,
muss die Menge der transzendenten Zahl T ⊂ R ebenfalls überabzählbar sein. Die
Menge T ist also mächtiger als A, d. h., es gibt “viel mehr” transzendente als algebraische Zahlen. Im Allgemeinen ist es jedoch schwierig zu entscheiden, ob eine
konkret gegebene Zahl x ∈ R entweder algebraisch oder transzendent ist. Bekannte
Beispiele transzendenter Zahl sind e (Beweis von Hermite 1873) und π (Beweis von
Lindemann 1882).