Analysis I - Mathematisches Institut Heidelberg

Universität Heidelberg
Mathematisches Institut
Prof. Dr. Michael Leinert
Anke Balderer
Analysis I
Sommersemester 2007
Aufgabenblatt 2
30. April 2007
Aufgabe 1. Sei n ∈ N. Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion:
P
(1) Es gilt ni=1 2i = 2n+1 − 2.
(2) Ist M eine endliche Menge mit n Elementen, so hat die Potenzmenge P (M ) 2n Elemente.
(4 Punkte)
Aufgabe 2.
(1) Seien Mi , i ∈ N, Mengen, wobei jedes Mi entweder abzählbar oder endlich ist. Man beweise:
ist abzählbar oder endlich.
S
i∈N Mi
(2) Sei M1 abzählbar. X ⊂ P (M1 ) sei die Menge der endlichen Teilmengen von M1 . Zeigen Sie: X ist
abzählbar.
(4 Punkte)
Aufgabe 3. Seien n, k ∈ N.
(1) Bestimmen Sie (mit Beweis!)
n X
n
(−1)i .
n−i
i=1
(2) Beweisen Sie
n−1
k−1
+
n−1
k
=
n
k
.
(4 Punkte)
Aufgabe 4.
(1) Schreiben Sie folgende Aussagen mit Quantoren (∀ ”für alle/zu jedem”, ∃ ”es existiert ein”) und
negieren Sie sie:
(a) Für alle natürlichen Zahlen gilt: je zwei sind gleich.
(b) Es gibt keine reelle Zahl, die größer ist als ihr Quadrat.
(2) Ist folgender Beweis richtig oder falsch? Begründen Sie/finden Sie den Fehler! Rechenregeln in N
dürfen Sie ohne Beweis benutzen.
Behauptung:
Alle natürlichen Zahlen sind gleich.
Beweis:
Seien zwei beliebige natürliche Zahlen m, p gegeben, dann gilt m, p < m + p. Es genügt also, Folgendes zu zeigen:
Induktionsbehauptung:
∀n ∈ N gilt: m, p ≤ n ⇒ m = p.
Beweis per vollständige Induktion:
Induktionsanfang (n=1):
Für die Zahl 1 gilt 1 = 1, daher ist die Induktionsbehauptung für n = 1 wahr.
Induktionsschritt:
Die Behauptung gelte für n, also 1 = . . . = n. Dann gilt für alle Zahlen m, p ≤ n : m = p, also auch
m + 1 = p + 1. Demnach gilt für alle Zahlen 1 < m0 , p0 ≤ n + 1 : m0 = p0 , also 2 = . . . = n = n + 1.
Da nach Induktionsvoraussetzung bereits 1 = . . . = n gilt, folgt: 1 = 2 = . . . = n = n + 1; der
Induktionsschritt ist geglückt und die Behauptung bewiesen.
(4 Punkte)
Homepage: www.mathi.uni-heidelberg.de/~schlaubi/analysis/
Abgabe: 7. Mai 2007