¨UBERBLICK UND ¨UBUNGSSERIE 3 Am Donnerstag haben wir

ÜBERBLICK UND ÜBUNGSSERIE 3
ANALYSIS I – HS14 – UNIVERSITÄT BASEL
PROF. DR. GIANLUCA CRIPPA
Am Donnerstag haben wir den Begriff der Mächtigkeit einer Menge eingeführt. Zwei Mengen
sind gleichmächtig, falls es eine bijektive Funktion zwischen den beiden Mengen gibt.
Aufgabe 3.1. Beweisen Sie das Schubfachprinzip: Falls man n Objekte auf m Mengen verteilt, und falls
n > m > 0, dann gibt es mindestens eine Menge, in der mehr als ein Objekt landet.
Eine Menge ist abzählbar, falls sie die gleiche Mächtigkeit wir die natürlichen Zahlen hat. Die
Mengen N, Z und Q sind abzählbar. Um die Abzählbarkeit von Z zu beweisen, haben wir folgendes Resultat benutzt.
Aufgabe 3.2. Die Funktion f : N → Z definiert durch
 n

falls n gerade


 2
f (n) =


 1−n

falls n ungerade
2
ist bijektiv.
Die Menge R der reellen Zahlen ist überabzählbar: Sie hat eine grössere Mächtigkeit als die Menge
der natürlichen Zahlen.
? Aufgabe 3.3. Beweisen Sie:
(a) Die Menge aller endlichen Teilmengen von N ist abzählbar.
(b) Die Menge aller Teilmengen von N ist überabzählbar.
Am Freitag haben wir die komplexen Zahlen studiert. Die formale Definition ist durch Paare von
reellen Zahlen gegeben. Eine “praktische” Definition ist die Darstellung z = x + iy, wobei x
und y ∈ R. Für komplexe Zahlen sind Addition und Multiplikation definiert und C erfüllt die
Körperaxiome.
1
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ANALYSIS I HS14 – SERIE 3
Aufgabe 3.4. Stellen Sie folgende komplexe Zahlen in der Form x + iy dar:
1
3 + 4i
1+i k
,
,
mit k ∈ Z,
1+i
2−1
1−i
√
i.
Wir haben den Realteil, den Imaginärteil, die Konjugation und den Betrag definiert und ihre wichtigen Eigenschaften bewiesen.
Aufgabe 3.5. Beweisen Sie:
(a) |z| − |w| ≤ |z − w| ,
(b) |z + w|2 + |z − w|2 = 2 |z|2 + |w|2
für alle z, w ∈ C.
Schliesslich haben wir die geometrische Darstellung (in der Ebene) der komplexen Zahlen vorgestellt.
Aufgabe 3.6. Beschreiben Sie die Mengen (mit Skizze):
M1 = z ∈ C : |z − i| = |z + i| ,
M2 = z ∈ C : |z + 1| ≤ |i − z| ,
M3 = z ∈ C : |z − 2 + i| ≤ 2
und
M4 = z ∈ C : |z + 1| = |z − 1| = 1 .
Die mit einem Stern gekennzeichneten Aufgaben
sind für das Ergänzungsprogramm gedacht.
Webseite: http://www.math.unibas.ch/crippa
Email: [email protected]
Abgabe: bis Freitag 10.10. um 12:00 Uhr