Analysis I* ¨Ubungsblatt 2

Humboldt-Universität zu Berlin
Institut für Mathematik
Prof. A. Mielke, Dr. A. Fauck, A. Stephan
S. Hensel, M. Radons, C. Sirotenko
Analysis I*
WiSe 2016/17
Übungsblatt 2
Schriftliche Abgabe: Dienstag 8. November 2016
Aufgabe 2.1 (2+2 Punkte)
a) Beweisen Sie, dass für alle natürlichen Zahlen n ≥ 2 gilt:
Pn
k=1
√1
k
>
√
n.
b) Beweisen Sie, dass für jede reelle Zahl x ≥ −1 und jede ganze Zahl n ≥ 0 gilt:
(1 + x)n ≥ nx + 1. Wann gilt Gleichheit?
Aufgabe 2.2 (3+2 Punkte)
D
def
Betrachten Sie auf N × N die Differenzrelation (n, m) ∼ (a, b) ⇐⇒ n+b = a+m. Weiter
seien κ, λ ∈ N feste Zahlen.
a) Unter welcher Bedingung an κ und λ definiert die Abbildungsvorschrift f ([(n, m)]D ) =
[(2λ + 3κm , 4λn + 5κ)]D eine (repräsentantenunabh.) Abbildung auf Z = (N × N)/D ?
∼
Welche Abbildung wird dadurch in “Normaldarstellung” auf Z definiert?
b) Finde eine repräsentatenunabh. Definition für die Multiplikation auf Z = (N × N)/D .
∼
Aufgabe 2.3 (3+3+2 Punkte)
a) Bestimmen Sie, ob die folgenden Mengen nach oben bzw. nach unten beschränkt
sind und bestimmen Sie ggf. das Supremum bzw. das Infimum. Entscheiden Sie, ob
diese angenommen werden
1
A := {2−n n2 | n ∈ N}, B := { + (−1)n | a ∈ R, a > 1, n ∈ N}.
a
b) Seien A und B nichtleere beschränkte positive Teilmengen von R. Es bezeichne
A · B := {a · b | a ∈ A, b ∈ B}.
Zeigen Sie: sup(A · B) = sup(A) · sup(B).
Aufgabe 2.4 (2+2 Punkte)
a) Wir betrachten n ∈ N abzählbare Mengen A1 , A2 , . . . , An und setzen
A := A1 × A2 × · · · × An := {(a1 , a2 , . . . , an ) | aj ∈ Aj f ür j = 1, . . . , n}.
Ist A abzählbar oder überabzählbar? (Mit Beweis!)
b) Es seien k ∈ N abzählbare Mengen Bk gegeben. Entscheiden Sie, ob
[
B :=
Bk = B1 ∪ B2 ∪ · · · ∪ Bk ∪ . . .
k∈N
abzählbar oder überabzählbar ist. (Mit Beweis!)
Schriftliche Zusatzaufgabe 2.Z (3 Punkte)
Sei α eine reelle Zahl sodass α + α1 ∈ Z gilt. Beweisen Sie, dass auch αn +
natürlichen Zahlen n ∈ N gilt.
Freiwilliges Zusatztutoriat:
Montags 13:15-14:45 Uhr, Raum 3.011 in RUD 25.
1
1
αn
∈ Z für alle
(bitte wenden)
Übungsblatt 2
Die folgenden Aufgaben werden in den Übungen besprochen.
Aufgabe (Peano-Axiome)
Aus der Vorlesung ist bekannt, dass die Peano-Axiome die Menge der natürlichen Zahlen
eindeutig festlegen. Ist diese Aussage auch noch richtig, wenn eines der Axiome weggelassen
wird? Betrachten Sie folgende Beispiele:
a) M = { 1. Januar, . . ., 31. Dezember},
f = nächster Kalendertag mit f (31. Dezember)= 1. Januar.
b) M = {0, 1, 2, 4, 8, 16, . . .}, f (n) = 2n.
Welche Axiome gelten jeweils und welche sind verletzt?
Aufgabe (Äquivalenzrelationen)
a) Es sei ∼ eine Äquivalenzrelation auf A. Zeige, dass zwei Äquivalenzklassen [a]∼ und
[b]∼ entweder disjunkt sind oder gleich.
B
def
b) Betrachte auf A = Z × N die Bruchrelation (u, v) ∼ (w, z) ⇐⇒ uz = vw
und zeige, dass die Abbildung “” mit [(u, v)]B [(w, z)]B = [(uz+vw, vz)]B repräsentantenunabhängig ist?
c) Um endlich das alte Problem “n/0” und “0/0” lösen zu können, betrachten wir
obige Bruchrelation nun auf B = Z × Z. Was passiert? Geht es vielleicht mit C =
Z × Z \ {(0, 0)} besser?
Aufgabe
a) Bestimmen Sie, ob die folgenden Mengen nach oben bzw. nach unten beschränkt
sind und bestimmen Sie ggf. das Supremum bzw. das Infimum. Entscheiden Sie, ob
diese angenommen werden
n
o
n
o
(−1)n A := 1 +
n ∈ N , B := x ∈ R ∃n ∈ N : nx = n2 + 1 .
n
b) Seien A und B nichtleere beschränkte Teilmengen von R. Es sei
A + B := {a + b | a ∈ A, b ∈ B}.
Zeigen Sie: sup(A + B) = sup(A) + sup(B).
Aufgabe
a) Jede Teilmenge einer abzählbar unendlichen Menge ist endlich oder abzählbar unendlich.
b) Jede unendliche Menge besitzt eine abzählbar unendliche Teilmenge.
c) Seien A und B zwei abzählbare Mengen. Beweisen Sie, dass die Menge A × B auch
abzählbar ist.
d) Die Menge Σ(N) := { A ⊂ N | A ist endlich } ist abzählbar unendlich.
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