Analysis in einer Variablen

28 Vorlesungen über
Analysis in einer Variablen
für Lehramtstudierende der Schulformen Grund-, Haupt- und Realschule
Jens Jordan
Universität Würzburg, Wintersemester 2016/17
Inhaltsverzeichnis
Kapitel 1. R
1. Axiomatische Einführung der reellen Zahlen
2. Q in R
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Kapitel 2. Folgen und Reihen
1. Konvergenz und Divergenz
2. Häufungspunkte und Teilfolgen
3. Geometrische Reihe und Harmonische Reihe
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5. Absolute Konvergenz
6. Leibnizkriterium, Wurzelkriterium, Quotientenkriterium
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Kapitel 3. Reelle Funktionen
1. Die Exponentialfunktion
2. Stetigkeit
3. Der Zwischenwertsatz
4. Globale Maxima und globale Minima
5. Grenzwerte
6. Differenzierbarkeit
7. Der Mittelwertsatz
8. Höhere Ableitungen
9. Potenzreihen
10. Integrierbare Funktionen
11. Stammfunktionen
12. Integrieren
13. Trigonometrische Funktionen
14. Uneigentliche Integrale
15. Taylorreihen
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KAPITEL 1
R
1. Axiomatische Einführung der reellen Zahlen
Die Axiome der reellen Zahlen: Die Menge R versehen mit der Addition + : R × R → R und der Multiplikation · : R → R erfülle (AI) das Körperaxiom, (A II) das Axiom der Anordnung und (A III) das Vollständigkeitsaxiom.
A I: Das Körperaxiom: R ist bezüglich Addition und Multiplikation ein Körper.
A II: Die Anordnungsaxiom: Es gibt eine Teilmenge R+ ⊂ R mit
den Eigenschaften:
(i) Für jedes x ∈ R gilt genau einer der Aussagen: x ∈ R+ , −x ∈
R+ bzw. x = 0.
(ii) Sind x, y ∈ R+ so folgt x + y ∈ R+ .
(iii) Sind x, y ∈ R+ so folgt xy ∈ R+ .
Notation: Die Menge R+ nennen wir die Menge der positiven Zahlen. Die
Menge R− := {x ∈ R | − x ∈ R+ } nennen wir die Menge der negativen Zahlen.
Wir definieren
x < y :⇔ y − x ∈ R+
und
x ≤ y :⇔ y − x ∈ R+ ∪ {0}
Satz 1.1. Die Relation ≤ ist eine Ordnungsrelation, d.h. es gilt:
i) Für alle x ∈ R gilt x ≤ x Reflexivität
ii) Aus x ≤ y und y ≤ z folgt x ≤ z Transitivität
iii) Aus x ≤ y und y ≤ x folgt x = yAntisymmetrie
Definition 1.2 (Beschränkte Mengen).
a) Eine Menge M ⊂ R heißt
beschränkt, falls es eine Zahl Z ∈ R gibt, so dass |m| ≤ Z für
jedes m ∈ M gilt.
b) Eine Menge heißt von oben beschränkt, falls es eine Zahl Z ∈ R
gibt, so dass m ≤ Z für jedes m ∈ M gilt. Ein solche Zahl Z heißt
obere Schranke von M .
c) Eine Menge heißt von unten beschränkt, falls es eine Zahl Z ∈ R
gibt, so dass Z ≤ m für jedes m ∈ M gilt. Ein solche Zahl Z heißt
untere Schranke von M .
Definition 1.3 (Supremum, Infimum, Maximum, Minimum). Es sei M eine
Teilmenge von R.
a) Die kleinste obere Schranke von M heißt Supremum.
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b) Die größte untere Schranke von M heißt Infimum.
c) Hat M ein Supremum, so heißt dieses Maximum, falls es ein Element der Menge M ist.
d) Hat M ein Infimum, so heißt dieses Minimum, falls es ein Element
der Menge M ist.
A III: Das Vollständigkeitsaxiom (Supremumseigenschaft):
Jede von oben beschränkte nichtleere Menge besitzt ein Supremum.
2. Q in R
Definition 1.4 (Topologische Eigenschaften von Teilmengen in R). Eine Teilmenge M heißt
a) offen in R falls es zu jedem m ∈ M ein ǫ > 0 gibt, so dass das Intervall
]m − ǫ, m + ǫ[ eine Teilmenge von M ist;
b) abgeschlossen, falls R \ M offen in R ist;
c) dicht in R falls zu jedem x ∈ R \ M und für jedes ǫ > 0 ein m ∈ M
im Intervall ]x − ǫ, x + ǫ[ liegt.
Satz 1.5 (Dichtheit von Q in R). .
a) Q liegt dicht in R.
b) R \ Q liegt dicht in R.
Satz 1.6 (Das Archimedische Prinzip). Sind a, b ∈ R und b > 0, so gibt es ein
n ∈ N, so dass nb > a.
Korollar 1.7.
a) Zwischen je zwei rationalen Zahlen gibt es irrationale
Zahlen. Zwischen je zwei irrationalen Zahlen gibt es rationale Zahlen.
b) Jede irrationale Zahl lässt sich mit rationalen Zahlen approximieren.
c) Q ist weder offen noch abgeschlossen in R.
Satz 1.8 (Kardinalität von Q und R). .
a) Q ist abzählbar.
b) R ist nicht abzählbar.
c) R \ Q ist nicht abzählbar.
Lemma 1.9. Abzählbare Vereinigungen abzählbarer Mengen sind abzählbar.