Analysis - Universität Koblenz · Landau

UNIVERSITÄT KOBLENZ-LANDAU, CAMPUS LANDAU
INSTITUT FÜR MATHEMATIK
Prof. Dr. Gunter Dufner
Dr. Dominik Faas
Analysis
Sommersemester 2013
Blatt 3
Abgabetermin: 06.05.2013
Aufgabe 8
(2+2+2=6 Punkte)
(a) Welche der folgenden Mengen sind kompakt?
Q ∩ [−1, 1],
[−3, −1] ∪ [0, 4],
Z
Begründen Sie Ihre Antworten.
(b) Zeigen Sie:
n
ˆ Sind A1 , A2 , . . . , An kompakt, so ist auch ⋃ Ak kompakt.
k=1
ˆ Ist A kompakt und B abgeschlossen, so ist A ∩ B kompakt.
Hinweis: Hierbei ist es sinnvoll, auf bereits Bekanntes (Sätze der Vorlesung) zurückzugreifen.
∞
(c) Finden Sie kompakte Mengen A1 , A2 , A3 , . . . für die ⋃ Ak nicht abgeschlossen ist.
Finden Sie kompakte Mengen B1 , B2 , B3 , . . . für die
k=1
∞
⋃ Bk
k=1
nicht beschränkt ist.
Aufgabe 9
(4×1.5=6 Punkte)
Bestimmen Sie für die nachstehenden Folgen jeweils den Grenzwert und weisen Sie die
Konvergenz anhand der ε-n0 -Definition nach. Geben Sie hierfür in Abhängigkeit von einem
beliebigen ε > 0 konkret ein n0 ∈ N an (so dass ∣an − a∣ < ε für alle n ≥ n0 gilt).
(
1
)
2
n + 1 n∈N
(
3n − 1
)
5n + 2 n∈N
(
sin(n) ⋅ cos(n)
)
n
n∈N
(
n2
)
3n n∈N
Hinweis: Bei der letzten Folge ist die Abschätzung n2 ≤ 2n (n ∈ N, n ≥ 2) hilfreich. (Diese
Ungleichung kann leicht mit einem Induktionsbeweis gezeigt werden, Sie können sie hier aber auch
ohne Beweis verwenden.)
Aufgabe 10
(1+2+1+1=5 Punkte)
Anmerkung: Bei dieser Aufgabe sollen die Regeln für das Rechnen mit konvergenten Folgen aus
der Vorlesung (noch) nicht benutzt werden. Verwenden Sie nur die Definition von Folgenkonvergenz.
Gegeben sei eine Folge (an )n∈N in R und Zahlen a, b ∈ R. Zeigen Sie:
lim an = a ⇒
n→∞
lim an = a ⇒
n→∞
lim (an + b) = a + b
n→∞
lim (an 2 ) = a2
n→∞
Prüfen Sie für beide Aussagen, ob jeweils auch auch die Umkehrung “⇐“ gilt (Beweis oder
Gegenbeispiel).
Aufgabe 11
(1+1+4=6 Punkte)
Eine Zahl C ∈ R heißt obere Schranke einer Menge M ⊆ R, falls x ≤ C für alle x ∈ M gilt. Die
Menge M heißt nach oben beschränkt, falls eine obere Schranke von M existiert. Falls M nach
oben beschränkt ist, nennt man die kleinste obere Schranke S von M das Supremum von M
(man schreibt dann S = sup M ). Falls sup M ∈ M ist, heißt sup M auch Maximum von M .
(a) Definieren Sie analog die Begriffe untere Schranke, nach unten beschränkt, Infimum
und Minimum.
(b) Das Vollständigkeitsaxiom in R (das Sie nicht zu zeigen brauchen) besagt:
Jede nach oben beschränkte Teilmenge von R besitzt ein Supremum in R.
Finden Sie ein Beispiel für eine nach oben beschränkte Teilmenge M ⊆ Q, die in Q
kein Supremum besitzt.
(c) Welche der folgenden Mengen sind nach oben bzw. nach unten beschränkt. Bestimmen
Sie gegebenenfalls Supremum und Infimum und entscheiden Sie, ob es sich jeweils auch
um Maximum bzw. Minimum handelt.
M1 = [−1, 2) ∪ [5, 6)
M3 = { n1 ; n ∈ N}
,
,
M2 = {−n; n ∈ N}
M4 = { m+n
n ; m, n ∈ N}
Diese Übungsblätter finden Sie unter:
https://www.uni-koblenz-landau.de/landau/fb7/mathematik/team/gunter-dufner/material/ana-sose13