Prof. Dr. Klaus Deckelnick 04.05.2017 Institut für Analysis und

Prof. Dr. Klaus Deckelnick
Institut für Analysis und Numerik
04.05.2017
Übungsaufgaben zur Vorlesung Analysis II
Sommersemester 2017 - Blatt 5
Abgabe: Donnerstag, den 11.05.2017 vor der Vorlesung.
1. Zeigen Sie:
a) Jede kompakte Teilmenge M eines normierten Raumes X ist abgeschlossen und beschränkt.
b) Sei C 0 ([0, 1]) der Raum der stetigen Funktionen auf [0, 1] mit der Norm kf k∞ = max |f (x)|.
x∈[0,1]
Zeigen Sie, dass {f ∈ C 0 ([0, 1]) | kf k∞ ≤ 1} abgeschlossen und beschränkt, aber nicht kompakt ist.
(5 Punkte)
2. Sei X ein normierter Raum. Zeigen Sie:
a) Ist K ⊂ X kompakt und A ⊂ K abgeschlossen, so ist auch A kompakt. Beweisen Sie dies
sowohl mit Hilfe der Überdeckungskompaktheit als auch mittels Folgenkompaktheit.
b) Ist (Kn )n∈N eine Folge nichtleerer kompakter Teilmengen von X mit Kn+1 ⊂ Kn , n ∈ N,
T
(4 Punkte)
so ist ∞
n=1 Kn ebenfalls nichtleer und kompakt.
3. Gegeben seien die beiden Funktionen f1 , f2 : R2 \ {(0, 0)} → R, wobei
xy
,
f1 (x, y) := p
x2 + y 2
f2 (x, y) :=
x2 − y 2
.
x2 + y 2
Untersuchen Sie für i = 1, 2 die Existenz von
a) lim fi (tv1 , tv2 ) für alle v = (v1 , v2 ) ∈ R2 , (v1 , v2 ) 6= (0, 0).
t→0
b)
lim
(x,y)→(0,0)
fi (x, y).
(4 Punkte)
4. Es seien (X, k · kX ) und (Y, k · kY ) normierte K–Vektorräume und F : X → Y linear. Zeigen
Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
1.) F ist in x0 = 0 stetig.
2.) Es gibt ein M ≥ 0, so dass für alle x ∈ X gilt: kF (x)kY ≤ M kxkX .
3.) F ist auf X Lipschitz–stetig.
(3 Punkte)