Ubungsblatt 3 - Mathematisches Institut

Universität Basel
Prof. Dr. Enno Lenzmann
Infinitesimalrechnung II
13.03.2012
Übungsblatt 3
Abgabe: Am 20.03. in der Vorlesung oder bis 12:00 Uhr im Mathematischen
Institut (bzw. am 22.03. bis 10:30 Uhr im Math. Inst. für die Montagsgruppe.)
Aufgabe 1.
i) Sei ϕ : X → R eine stetige Funktion auf einem metrischen Raum X.
Definiere die Funktionen ϕ+ (x) = max{ϕ(x), 0} und ϕ− (x) = min{ϕ(x), 0}
für x ∈ X. Man zeige, dass ϕ+ und ϕ− stetig auf X sind.
ii) Sei f : R2 → R gegeben durch
2xy
für (x, y) 6= (0, 0),
x2 +y 2
f (x, y) =
0
für (x, y) = (0, 0).
Es seien c, d ∈ R beliebig vorgegeben. Man zeige, dass die Funktionen
x 7→ f (x, c) und y 7→ f (d, y) stetige Funktionen auf R sind.
iii) Man beweise, dass die Funktion f : R2 → R aus ii) nicht stetig ist im
Ursprung (0, 0).1
Aufgabe 2. Eine Funktion f : Rn → R heisst Lipschitz-stetig, wenn es eine
Konstante L ≥ 0 gibt, so dass |f (x) − f (y)| ≤ Lkx − yk für alle x, y ∈ Rn gilt.
Man beweise: Ist P (x) ein Polynom auf R und Lipschitz-stetig, so ist P (x) eine
affine Funktion, d. h. wir haben
P (x) = a1 x + a0
mit gewissen Koeffizienten a1 , a0 ∈ R. Zudem formuliere man und beweise die
entsprechende Aussage für Polynome auf Rn .
Aufgabe 3.
i) Für welche k ∈ N ist die Menge {(x, y) ∈ R2 : xk + y k ≤ 1} kompakt?
ii) Betrachte die Menge der reellen 2 × 2-Matrizen mit Determinante 1:
a b
SL2 (R) =
: a, b, c, d ∈ R und ad − bc = 1
c d
Wir können SL2 (R) ⊂ R2×2 ' R4 als Teilmenge des R4 auffassen. Ist
SL2 (R) kompakt?
iii) Sei X eine beliebige Menge versehen mit der trivialen Metrik d(x, y) = 1
für x 6= y und d(x, y) = 0 für x = y. Man zeige: Eine Teilmenge K ⊂ X
ist kompakt genau dann, wenn K endlich viele Elemente hat.
Aufgabe 4. Sei X ein metrischer Raum und f : X → R sei lokal beschränkt,
d. h. zu jedem Punkt p ∈ X existiert eine Umgebung Up von p und eine Konstante
Cp ≥ 0, so dass |f (x)| ≤ Cp für alle x ∈ Up gilt. Man beweise: Ist X kompakt, so
ist f auf ganz X beschränkt, d. h., es gibt eine Konstante C ≥ 0, so dass |f (x)| ≤ C
für alle x ∈ X.
Zeige ausserdem: Die Aussage stimmt i. Allg. nicht, falls X nicht kompakt ist.
(Betrachte z. B. X = (0, 1] und f (x) = 1/x.)
1Dieses Beispiel zeigt, dass f : Rn → R für n ≥ 2 nicht stetig sein muss, wenn alle Einschränkungen von f auf achsenparallele Geraden stetig sind.
1
2
*Aufgabe 5. Sei X = C 0 ([0, 1]) der Vektorraum der stetigen reellwertigen Funktionen auf dem Intervall [0, 1]. Man beweise, dass
kf k = sup |xf (x)| : x ∈ [0, 1]
eine Norm auf X definiert. Man zeige ausserdem, dass X nicht vollständig bezüglich
dieser Norm ist.
√
Hinweis: Betrachte die Folge fn (x) = min{n, 1/ x} mit n ∈ N.
*Aufgabe 6. Man beweise die folgenden Aussagen.
i) Ist X ein kompakter metrischer Raum, so ist X vollständig.
ii) Es seien X und Y metrische Räume. Falls f : X → Y eine bijektive und
stetige Abbildung ist und X kompakt ist, dann ist die Umkehrabbildung
f −1 : Y → X auch stetig. (D. h. f : X → Y ist ein Homöomorphismus.)
iii) X = R mit der Metrik d(x, y) = |arctan(x) − arctan(y)| ist beschränkt und
abgeschlossen, aber X ist nicht kompakt.
Hinweis: Für iii) betrachte die Folge xn = n mit n ∈ N.