Universität Basel Prof. Dr. Enno Lenzmann Infinitesimalrechnung II 13.03.2012 Übungsblatt 3 Abgabe: Am 20.03. in der Vorlesung oder bis 12:00 Uhr im Mathematischen Institut (bzw. am 22.03. bis 10:30 Uhr im Math. Inst. für die Montagsgruppe.) Aufgabe 1. i) Sei ϕ : X → R eine stetige Funktion auf einem metrischen Raum X. Definiere die Funktionen ϕ+ (x) = max{ϕ(x), 0} und ϕ− (x) = min{ϕ(x), 0} für x ∈ X. Man zeige, dass ϕ+ und ϕ− stetig auf X sind. ii) Sei f : R2 → R gegeben durch 2xy für (x, y) 6= (0, 0), x2 +y 2 f (x, y) = 0 für (x, y) = (0, 0). Es seien c, d ∈ R beliebig vorgegeben. Man zeige, dass die Funktionen x 7→ f (x, c) und y 7→ f (d, y) stetige Funktionen auf R sind. iii) Man beweise, dass die Funktion f : R2 → R aus ii) nicht stetig ist im Ursprung (0, 0).1 Aufgabe 2. Eine Funktion f : Rn → R heisst Lipschitz-stetig, wenn es eine Konstante L ≥ 0 gibt, so dass |f (x) − f (y)| ≤ Lkx − yk für alle x, y ∈ Rn gilt. Man beweise: Ist P (x) ein Polynom auf R und Lipschitz-stetig, so ist P (x) eine affine Funktion, d. h. wir haben P (x) = a1 x + a0 mit gewissen Koeffizienten a1 , a0 ∈ R. Zudem formuliere man und beweise die entsprechende Aussage für Polynome auf Rn . Aufgabe 3. i) Für welche k ∈ N ist die Menge {(x, y) ∈ R2 : xk + y k ≤ 1} kompakt? ii) Betrachte die Menge der reellen 2 × 2-Matrizen mit Determinante 1: a b SL2 (R) = : a, b, c, d ∈ R und ad − bc = 1 c d Wir können SL2 (R) ⊂ R2×2 ' R4 als Teilmenge des R4 auffassen. Ist SL2 (R) kompakt? iii) Sei X eine beliebige Menge versehen mit der trivialen Metrik d(x, y) = 1 für x 6= y und d(x, y) = 0 für x = y. Man zeige: Eine Teilmenge K ⊂ X ist kompakt genau dann, wenn K endlich viele Elemente hat. Aufgabe 4. Sei X ein metrischer Raum und f : X → R sei lokal beschränkt, d. h. zu jedem Punkt p ∈ X existiert eine Umgebung Up von p und eine Konstante Cp ≥ 0, so dass |f (x)| ≤ Cp für alle x ∈ Up gilt. Man beweise: Ist X kompakt, so ist f auf ganz X beschränkt, d. h., es gibt eine Konstante C ≥ 0, so dass |f (x)| ≤ C für alle x ∈ X. Zeige ausserdem: Die Aussage stimmt i. Allg. nicht, falls X nicht kompakt ist. (Betrachte z. B. X = (0, 1] und f (x) = 1/x.) 1Dieses Beispiel zeigt, dass f : Rn → R für n ≥ 2 nicht stetig sein muss, wenn alle Einschränkungen von f auf achsenparallele Geraden stetig sind. 1 2 *Aufgabe 5. Sei X = C 0 ([0, 1]) der Vektorraum der stetigen reellwertigen Funktionen auf dem Intervall [0, 1]. Man beweise, dass kf k = sup |xf (x)| : x ∈ [0, 1] eine Norm auf X definiert. Man zeige ausserdem, dass X nicht vollständig bezüglich dieser Norm ist. √ Hinweis: Betrachte die Folge fn (x) = min{n, 1/ x} mit n ∈ N. *Aufgabe 6. Man beweise die folgenden Aussagen. i) Ist X ein kompakter metrischer Raum, so ist X vollständig. ii) Es seien X und Y metrische Räume. Falls f : X → Y eine bijektive und stetige Abbildung ist und X kompakt ist, dann ist die Umkehrabbildung f −1 : Y → X auch stetig. (D. h. f : X → Y ist ein Homöomorphismus.) iii) X = R mit der Metrik d(x, y) = |arctan(x) − arctan(y)| ist beschränkt und abgeschlossen, aber X ist nicht kompakt. Hinweis: Für iii) betrachte die Folge xn = n mit n ∈ N.