Geometrie / Topologie I Serie 1

Prof. Dr. A. Beliakova
Herbstsemester 2015
Geometrie / Topologie I
Serie 1
Abgabe: Montag 28.09.2015, 10.00 Uhr.
Aufgabe 1. (4 Punkte) Sind die folgenden Teilmengen von R2 offen?
(i) Das Komplement eines Punktes.
(ii) Die geschlossene obere Halbebene von R2 (das heisst, die Menge {(x, y) ∈ R2 | y ≥
0} = H2 ).
(iii) Die offene obere Halbebene von R2 (das heisst, die Menge {(x, y) ∈ R2 | y > 0} =
H2 \ ∂H2 ).
(iv) Die Menge (1, 2) × (5, 7).
Aufgabe 2. (2 Punkte) Sei X ein topologischer Raum. Eine Teilmenge U ⊂ X heisst
abgeschlossen, wenn X \ U offen ist. Zeige die folgenden Aussagen:
(i) X und ∅ sind abgeschlossen in X.
(ii) Die Vereinigung von endlich vielen abgeschlossenen Mengen von X ist abgeschlossen.
(iii) Der Schnitt von abgeschlossen Mengen von X ist abgeschlossen.
Aufgabe 3. (2 Punkte) Sei Rn mit der Komplement-kompakt Topologie versehen, das
heisst, eine Menge A ⊂ Rn ist offen dann und nur dann, wenn Rn \ A kompakt ist oder
A = ∅. Beweise, dass die Topologieaxiome erfüllt sind.
Aufgabe 4. (1 Punkt) Beweise, dass die Vereinigung von endlich vielen kompakten
Teilmengen von Rn kompakt ist.
Aufgabe 5. (2 Punkte) Sei die Menge A = (0, 1) ⊂ R. Beweise, dass A vom Mengenn
system {(0, n+1
)}n∈N überdeckt sein kann. Ist A eine kompakte Teilmenge von R?
Aufgabe 6. (2 Punkte) Seien X, Y topologische Räumen mit X kompakt, und sei
f : X → Y stetig. Beweise, dass f (X) eine kompakte Teilmenge von Y ist.
Aufgabe 7. (2 Punkte) Seien X, Y topologische Räumen mit X kompakt, und sei
f : X → Y stetig und bijektiv. Beweise, dass f ein Homöomorphismus ist.
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Aufgabe 8. (2 Punkte) Klassifiziere alle 1-Mannigfaltigkeiten.
Aufgabe 9. (3 Punkte) Sei C = {(x, y, z) ∈ R3 | z 2 = x2 + y 2 } ein Kegel. Beweise, dass
C keine topologische Fläche ist.
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