Funktionalanalysis 1

Institut für Analysis
Prof. Dr. J. Voigt
Übungsblatt 2
20. 10. 2010
Funktionalanalysis 1
9. Let X be a topological space, A ⊆ X, x ∈ X. Show that the following properties are
equivalent:
(a) x ∈ A.
(b) There exists a net (xι )ι∈I in A such that xι → x.
If X is a semi-metric space then one has the additional equivalence:
(c) There exists a sequence (xn )n∈N in A such that xn → x.
10. Seien (X, T ) ein topologischer Raum, (xι )ι∈I ein Netz in X und x0 ∈ X. Beweise
folgende Aussagen:
(a) Auf I ∪ {∞}, wobei ∞ nicht in I enthalten sei, wird durch
S := P(I) ∪ U ⊆ I ∪ {∞}; ∃ ι0 ∈ I : U ⊇ {ι ∈ I; ι > ι0 } ∪ {∞}
eine Topologie definiert.
(b) Das Netz (ι)ι∈I in (I ∪ {∞}, S) konvergiert gegen ∞.
(c) Definiert man f : I ∪ {∞} → X durch
xι
f (ι) :=
x0
für ι ∈ I,
für ι = ∞,
so konvergiert (xι )ι∈I gegen x0 genau dann, wenn f stetig ist.
11. Das System E ⊆ P(R) aller endlichen Teilmengen von R, geordnet durch die Inklusionsrelation ⊆“, ist eine gerichtete Menge. Für E ⊆ R bezeichne 1E die Indikatorfunk”
tion (charakteristische Funktion) von E. Sei A := {1E ; E ∈ E}, X := A ∪ {1R }, und
T ⊆ P(X) sei definiert durch
U ∈ T :⇐⇒ U ⊆ A ∨ ∃ E ∈ E : U ⊇ f ∈ X; f (x) = 1 (x ∈ E) .
Zeige:
(a) T ist eine Topologie auf X.
(b) (1E )E∈E ist ein gegen 1R konvergentes Netz aus A, also 1R ∈ A.
(c) Es gibt keine Folge (fn ) in A mit fn → 1R . Somit ist T keine metrisierbare Topologie.
12. Sei (X, T ) ein topologischer Raum. Beweise:
(a) X kompakt, K ⊆ X, K abgeschlossen =⇒ K kompakt.
(b) X separiert, K, L ⊆ X, K, L kompakt, K ∩ L = ∅ =⇒ ∃ U, V ∈ T , U ∩ V = ∅,
K ⊆ U, L ⊆ V .
(c) X abzählbar kompakt ⇐⇒ Jede abzählbare offene Überdeckung von X besitzt
eine endliche Teilüberdeckung.
Abgabetermin: Mittwoch, 27. 10. 2010, 13:00 Uhr. Abzugeben sind die Aufgaben 9, 10
und 12.