Topologie

Universität Karlsruhe (TH)
Institut für Algebra und Geometrie
HDoz. Dr. Oliver Baues
M.Sc. Slavyana Geninska
WS 2006/2007
Topologie
Übungsblatt 10
Aufgabe 1 (Lokalkompakte Räume)
(a) Ist ein topologischer Raum, der eine 1-Punkt-Kompaktifizierung hat, ein lokalkompakter
Raum?
(b) Zeigen Sie, dass ein lokalkompakter Raum ein T3,5 -Raum ist.
Aufgabe 2 (Beispiel für einen kompakten, aber nicht folgenkompakten Raum)
{0, 1} sei mit der diskreten Topologie versehen und X := {0, 1}P(N) mit der Produktraumtopologie. (Also ist X kompakt.) In X definiert man die Folge {xn }n∈N durch

/M
 0 für n ∈
0 für n ∈ M und #{m ∈ M | m < n} gerade
PM (xn ) :=

1 für n ∈ M und #{m ∈ M | m < n} ungerade,
wobei M ∈ P(N) und Pm : X → {0, 1} die kanonische Projektion ist. Zeigen Sie, dass {xn }n∈N
keine konvergente Teilfolge besitzt.
Aufgabe 3 (Abzählbarkeit im Unendlichen)
Ein lokalkompakter Raum heißt abzählbar im Unendlichen, wenn er abzählbare Vereinigung
kompakter Mengen ist.
Zeigen Sie, dass ein lokalkompakter Raum genau dann abzählbar im Unendlichen ist, wenn
der bei der 1-Punkt-Kompaktifizierung hinzugefügte Punkt ∞ eine abzählbare Umgebungsbasis
besitzt.
Aufgabe 4 (Der Körper der p-adischen Zahlen)
Es sei Zp der Ring der p-adischen ganzen Zahlen, U die Gruppe der invertierbaren Elemente
von Zp (vgl. Blatt 9, Aufgabe 4).
Körper der p-adischen Zahlen und wird mit Qp
Der Quotientenkörper des Rings Z
Sp heißt
−k Z und dass jedes x ∈ Q∗ , eindeutig in der Form
bezeichnet. Überlegen Sie, dass Qp = ∞
p
p
p
k=0
v
(x)
p
p
u mit u ∈ U und vp (x) ∈ Z geschrieben werden kann. Wir setzen vp (0) = ∞.
(a) Zeigen Sie, dass Qp , versehen mit der durch die Ultrametrik d(x, y) := p−vp (x−y) definierten
Topologie, ein lokalkompakter total unzusammenhängender topologischer Körper ist.
(b) Zeigen Sie weiter, dass Zp offen in Qp ist und dass Q dicht in Qp ist.
Aufgabe 5 (Folgenkompakt impliziert kompakt in metrischen Räumen)
Zeigen Sie, dass jeder folgenkompakte metrische Raum (X, d) kompakt ist.
Hinweis. Zeigen Sie, dass X vollständig und total beschränkt ist.
Abgabe der Lösungen: bis Dienstag, 16.01.2007, 17:00 Uhr in den entsprechenden Briefkasten neben dem Seminarraum 32 im Mathematikgebäude