Algebra II Blatt 3 Wintersemester 2013/14

Prof. Dr. Duco van Straten
Markus Pauly
Algebra II Blatt 3
Wintersemester 2013/14
Aufgabe 1
Seien R, S Ringe, I ⊂ R, J ⊂ S Ideale und ϕ : R → S ein Ringhomomorphismus.
In der Vorlesung wurden die Ideale I e ⊂ S, sowie J c ⊂ R definiert. Beweisen sie
folgende Aussagen:
a) I ⊂ (I e )c , J ⊃ (J c )e , I e = ((I e )c )e , J c = (((J c )e )c .
b) Finden sie ein Beispiel, so dass ϕ(I) kein Ideal ist und ein Beispiel, so dass
J maximal ist, J c nicht maximal ist und S kein Körper ist.
c) Ist ϕ surjektiv und Ker(ϕ) ⊂ I, so gilt: I prim bzw. maximal ⇔ I e prim
bzw. maximal.
d) Es gibt eine Bijektion zwischen der Menge der Ideale von R/I und der
Menge der Ideale von R, die I enthalten. Sind unter dieser Bijektion Bilder
und Urbilder von prim bzw. maximalen Idealen auch prim bzw. maximal?
Aufgabe 2
a) Sei K ein Körper mit |K| = ∞ und 0 6= f ∈ K[X1 , . . . , Xn ] ein Polynom,
zeigen sie, dass es x ∈ K n gibt mit f (x) 6= 0.
b) Sei K ein Körper mit |K| < ∞, und 0 6= f ∈ K[X, Y ] =: R ein Polynom.
Zeigen sie, dass es einen K-Algebra Automorphismus ϕ von R gibt, so dass
der Leitkoeffizient von ϕ(f ) bezüglich Y in K\{0} liegt.
Hinweis zu b): Betrachten sie Isomorphismen mit X 7→ X + Y r mit geeignetem
r ∈ N. Die Aussage gilt auch in n Variablen.
Aufgabe 3
Sei R ein Ring, in der Vorlesung wurde die sogenannte Zariski Topologie auf
Spec(R) definiert. Für r ∈ R definieren wir Dr := {p ∈ Spec(R) | r ∈
/ p}.
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a) Zeigen sie, dass die Zariski Topologie eine Topologie ist.
b) Zeigen sie, dass für alle r ∈ R die Menge Dr offen ist und ferner, dass die
Menge {Dr | r ∈ R} eine Basis der Zariski Topologie ist.
Aufgabe 4
Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper.
a) Bestimmen sie den Abschluss aller Punkte von Spec(Z) und Spec(K[X]).
b) Was sind die offene Mengen der Topologie auf Max(K[X]).
c) Was ist der Abschluss des Ideals (X) ⊂ K[X, Y ] in Spec(K[X, Y ])?
d) Man sagt ein topologischer Raum T ist ein T0 Raum, falls
∀ x, y ∈ T, x 6= y, ∃ U ⊂ T offen mit x ∈ U, y ∈
/ U oder x ∈
/ U, y ∈ U.
Man sagt ein topologischer Raum T ist ein T1 Raum, falls
∀ x, y ∈ T, x 6= y, ∃ U, V ⊂ T offen mit x ∈ U, y ∈
/ U und x ∈
/ V, y ∈ V.
Sei R ein Ring. Zeigen sie, dass Spec(R) ein T0 Raum ist. Beweisen sie
außerdem, dass Spec(R) kein T1 Raum ist, falls R ein prim Ideal hat, welches
nicht maximal ist.
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