6 . ¨Ubung zur Topologie - Institut für Mathematik

Universität Würzburg
Mathematisches Institut
Dr. J. Jordan
Sommersemester 2015
21.05.2015
6 . Übung zur Topologie
6.1 Ein T0 Raum ist ein topologischer Raum mit folgender Eigenschaft: Zu jedem Paar
x, y ∈ X mit x 6= y gibt es eine offene Menge U so dass nur x ∈ U , y ∈
/ U oder y ∈ U
und x ∈
/ U . Finden Sie ein Beispiel für einen Topologischen Raum, welcher T0 aber
nicht T1 ist.
6.2 Auf H = R × R+
0 definieren wir B = B1 ∪ B2 mit
B1 = {U ⊂ R × R+ | U offen bezüglich üblicher Topologie}
und
B2 = {{(x, 0)} ∪ Br ((x, r)) | (x, 0) ∈ R × {0}, r ∈ R+ }
Zeigen Sie, dass die sogenannte Niemytzki Halbene, also H versehen mit der durch
B erzeugten Topologie regulär, aber nicht normal ist.
6.3 Es sei X = R × {−1, 1} und (x, y) ∼ (x̃, ỹ) falls x = x̃ ∈ R \ {0}.
a) Untersuchen Sie, ob X/ ∼ T1 , Hausdorffsch, regulär bzw. normal ist.
b) Untersuchen Sie, ob X/ ∼ lokal euklidisch ist.
6.4 Bestimmen Sie alle Hausdorffräume welche 2015 Elemente haben.