Geometrie / Topologie I Serie 1

Prof. Dr. A. Beliakova
Herbstsemester 2016
Geometrie / Topologie I
Serie 1
Abgabe: Montag 03.10.2016, 10.00 Uhr.
Aufgabe 1. (4 Punkte) Sind die folgenden Teilmengen von R2 offen?
(i) Das Komplement eines Punktes.
(ii) Die geschlossene obere Halbebene von R2 (das heisst, die Menge {(x, y) ∈ R2 | y ≥
0} = H2 ).
(iii) Die offene obere Halbebene von R2 (das heisst, die Menge {(x, y) ∈ R2 | y > 0} =
H2 \ ∂H2 ).
(iv) Die Menge (1, 2) × (5, 7).
Aufgabe 2. (2 Punkte) Sei X ein topologischer Raum. Eine Teilmenge U ⊂ X heisst
abgeschlossen, wenn X \ U offen ist. Zeige die folgenden Aussagen:
(i) X und ∅ sind abgeschlossen in X.
(ii) Die Vereinigung von endlich vielen abgeschlossenen Mengen von X ist abgeschlossen.
(iii) Der Schnitt von abgeschlossen Mengen von X ist abgeschlossen.
Aufgabe 3. (2 Punkte) Sei Rn mit der Komplement-kompakt Topologie versehen, das
heisst, eine Menge A ⊂ Rn ist offen dann und nur dann, wenn Rn \ A kompakt ist oder
A = ∅. Beweise, dass die Topologieaxiome erfüllt sind.
Aufgabe 4. (1 Punkt) Beweise, dass die Vereinigung von endlich vielen kompakten
Teilmengen von Rn kompakt ist.
Aufgabe 5. (2 Punkte) Sei die Menge A = (0, 1) ⊂ R. Beweise, dass A vom Mengenn
)}n∈N überdeckt sein kann. Ist A eine kompakte Teilmenge von R?
system {(0, n+1
Aufgabe 6. (3 Punkte) Sei X topologischer Raum, ∼ eine Äquivalenzrelation auf X
und p : X → X/∼ die Quotientenabbildung. Beweise, dass, wenn Z ein beliebiger
topologischer Raum ist und f : X/∼ → Z eine Abbildung ist, f stetig ist dann und nur
dann, wenn f ◦ p stetig ist.
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Aufgabe 7. (2 Punkte) Sei X ein kompakter topologischer Raum, sei Y ein hausdorffscher Raum, und sei f : X → Y stetig und bijektiv. Beweise, dass f ein Homöomorphismus
ist.
Aufgabe 8. (2 Punkte) Seien X, Y zwei topologische Räume und f : X → Y eine
Abbildung. Beweise, dass folgende Definitionen von Stetigkeit äquivalent sind:
(i) ∀ V ⊂ Y offen ⇒ f −1 (V ) ⊂ X offen;
(ii) Sei x ∈ X. Für jede Umgebung V von f (x) ∈ Y existiert eine Umgebung U von
x, so dass f (U ) ⊂ V .
Aufgabe 9. (2 Punkte) Seien die folgenden topologischen Räume:
• D versehen mit der diskreten Topologie;
• T versehen mit der trivialen Topologie;
• H ein hausdorffscher Raum;
• B ein beliebiger topologischer Raum.
Beweise die folgenden Aussagen:
(i) Jede Abbildung von D nach B ist stetig.
(ii) Jede Abbildung von B nach T ist stetig.
(iii) Die einzigen stetigen Abbildungen von T nach H sind die konstanten Abbildungen.
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