Ubungsblatt 5 - Universität Basel

Universität Basel
Prof. Dr. Enno Lenzmann
Infinitesimalrechnung II
05.04.2013
Übungsblatt 5
Abgabe: Am Freitag den 12.04. in der Vorlesung oder bis 12:00 Uhr im Mathematischen Institut (in das jeweilige Assistentenfach beim Eingang).
Aufgabe 1. Welchen der folgenden Teilmengen A ⊂ Rn sind stets kompakt?
Beweise oder widerlege.
(a) A ist endlich.
(b) A ist abzählbar.
(c) A ist beschränkt und abzählbar.
(d) A = {x ∈ Rn : f (x) ≥ 0}, wobei f : Rn → R stetig ist.
Aufgabe 2. Sei X ein metrischer Raum und K1 , . . . , KN endliche viele kompakte
Teilmengen in X. Zeige, dass
K1 ∪ . . . ∪ KN
und K1 ∩ . . . ∩ KN
ebenfalls kompakt sind.
Was lässt sich über Vereingungen und Durchschnitten von beliebigen Familien
{Ki }i∈I von kompakten Mengen aussagen?
Aufgabe 3. Sei f : K ⊂ Rn → R stetig und K ⊂ Rn kompakt. Ferner gelte
f (x) > 0 für alle x ∈ K. Schliesse daraus, dass es eine Konstante δ > 0 gibt, so
dass f (x) ≥ δ für alle x ∈ K.
Ausserdem: Konstruiere ein Beispiel mit nicht-kompaktem A ⊂ Rn und f : A → R
stetig, so dass obiger Schluss nicht gilt.
Aufgabe 4. Sei A ∈ Rn×n eine reelle n×n-Matrix. Man sagt A sei eine orthogonale
Matrix, falls At A = AAt = En gilt. Hierbei ist En die n × n-Einheitsmatrix
bezeichnet und At die Transportierte von A.
Die Menge aller orthogonalen n × n-Matrizen wird üblichweise bezeichnet durch
O(n) = {A ∈ Rn×n : A ist orthogonal}
2
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Wir können O(n) ⊂ Rn×n = Rn als Teilmenge des Rn auffassen. Zeige, dass O(n)
kompakt ist.
*Aufgabe 5. In jedem metrischen Raum X gilt: Ist K ⊂ X kompakt, so
ist K beschränkt und abgeschlossen. In Rn (mit der Standardmetrik) gilt auch
die Umkehrung. Dass die Umkehrung dieser Aussage aber nicht in beliebigen
metrischen Räumen gilt, soll anhand von folgendem Beispiel verifiziert werden.
Im Folgenden benutzen wir (zum besseren Verständins) die Notation x = (xn )n∈N
etc., um reelle Zahlenfolgen zu bezeichnen. Als metrischen Raum betrachten wir
`∞ = {x : x = (xn )n∈N ist eine beschränkte reelle Folge}
mit der Metrik d(x, y) = kx − yk∞ induziert duch die Norm kxk∞ = maxn∈N |xn |.
(Dass k · k∞ eine Norm ist, muss nicht gezeigt werden.) Betrachte die Menge
S = {x ∈ `∞ : kxk∞ = 1}
und zeige, dass S beschränkt und abgeschlossen, aber nicht kompakt ist.
Hinweis: Um zu zeigen, dass S nicht kompakt ist, gehe wie folgt vor. Sei ek =
(0, . . . , 0, 1, 0, . . .) die reelle Folge, so dass k-te Folgeglied gleich 1 und gleich null
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2
sonst ist. (Also ek,i = 1 falls i = k und ek,i = 0 falls i 6= k.) Offenbar ist ek ∈ S.
Zeige, dass
kek − el k∞ = 1 für k 6= l,
und begründe, dass die Folge (ek )k∈N in S keine konvergente Teilfolge besitzt.
Schliesse mit Satz 9 (Bolzano-Weierstrass) in §3 aus Forster, Analysis 2, dass S
somit nicht kompakt sein kann.
*Aufgabe 6. Betrachte die Menge der rationalen Zahlen Q als metrischen Raum
mit der Standardmetrik d(x, y) = |x − y|. Zeige, dass die Teilmenge
A = {x ∈ Q : 2 < x2 < 3}
beschränkt und abgeschlossen in Q ist. Ist A kompakt in Q? Ist A offen in Q?