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Mathematisches Institut der LMU
Prof. Dr. P. Müller
Dr. S. Morozov
Analysis III
WiSe 2015/16
13. 10. 2015
Übungsblatt 1
1.1.
(a) Sei (X, T ) ein Hausdorff-Raum und K ⊆ X kompakt. Zeige: K ist abgeschlossen.
(b) Sei X = R und T := {∅} ∪ {G ⊆ R : X \ G ist endlich} die Topologie der koendlichen Mengen. Finde eine kompakte Teilmenge K ⊆ X, die nicht abgeschlossen
ist.
(c) Sei (X, T ) ein Hausdorff-Raum und (Kα )α∈J eine Familie von kompakten Mengen
(d.h. J ist eine beliebige
nichtleere Menge und Kα ⊆ X ist kompakt für alle α ∈ J).
T
Zeige: Auch K := α∈J Kα ist kompakt.
(6 Punkte)
1.2. Es seien (X, T ) und (Y, S) topologische Räume, und f : X → Y stetig. Beweise:
(a) Die Stetigkeit von f ist äquivalent dazu, dass für jedes A ⊆ Y abgeschlossen f −1 (A)
abgeschlossen ist.
(b) Ist X kompakt, so ist f (X) kompakt.
(c) Ist (Y, S) ein Hausdorff-Raum, X kompakt und f bijektiv, so ist auch f −1 : Y → X
stetig (und damit ist f ein Homöomorphismus, d.h. f und f −1 sind stetig).
(6 Punkte)
1.3. Seien X ein Hausdorff-Raum und J 6= ∅ eine Indexmenge. Sei {Kj : j ∈ J} eine
Familie kompakter Mengen mit der Eigenschaft, dass für jede endliche Teilmenge J0 ⊂ J
gilt ∩j∈J0 Kj 6= ∅. Beweise, dass dann ∩j∈J Kj 6= ∅.
Hinweis: Betrachte die Komplemente Kjc = X \ Kj , j ∈ J, und argumentiere per Widerspruch.
(6 Punkte)
1.4. Sei X eine beliebige Menge und A ⊆ P(X). Man zeige die Äquivalenz folgender
Eigenschaften:
(a) A ist Ring,
(b) ∅ ∈ A, A ist ∆-stabil und ∪-stabil,
(c) ∅ ∈ A, A ist ∆-stabil und ∩-stabil.
Falls Sie dabei eine der in Definition/Satz 11.9 behaupteten Stabilitätseigenschaften für
Ringe verwenden wollen, so beweisen Sie diese.
(6 Punkte)
Abgabe: Bis Dienstag, 20. 10. 2015, 14:00 Uhr s.t. im Briefkasten im 1. Obergeschoss.
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