Übungen zur Mengentheoretischen Topologie

Übungen zur Mengentheoretischen Topologie
Sommersemester 2014
Universität Heidelberg
Mathematisches Institut
Dr. Denis Vogel
Dominik Wrazidlo
Aufgabe 1.
Blatt 9
Abgabetermin: Mittwoch, 18.06.2014, 9.15 Uhr
(6 Punkte)
Seien ∅ =
6 K ⊆ Rn kompakt und ∅ =
6 A ⊆ Rn abgeschlossen mit K ∩ A = ∅ (n ≥ 1). Man zeige:
inf {kx − ak2 ; x ∈ K, a ∈ A} > 0,
1
n
2 2
für alle y = (y1 , ..., yn ) ∈ R2 die euklidische Norm bezeichnet.
wobei kyk2 =
i=1 yi
Hinweis: Man verwende Aufgabe 4 von Blatt 8.
P
Aufgabe 2.
(6 Punkte)
Aufgabe 3.
(6 Punkte)
Aufgabe 4.
(6 Punkte)
Sei X die Menge aller reellen Zahlen aus [0, 1], für die es eine Dezimaldarstellung gibt, in der nur
die Ziern 0 und 9 vorkommen. Man zeige, dass X kompakt ist.
Man zeige, dass für ganze Zahlen n ≥ 1 der reelle projektive Raum Pn (R) (vgl. Blatt 4, Aufgabe
3, sowie Blatt 6, Aufgabe 4) eine Kompaktizierung von Rn ist.
Sei f : X → Y eine stetige Abbildung topologischer Räume. Es bezeichne f∞ : X∞ → Y∞ die
durch f∞ (∞) = ∞ gegebene (nicht notwendig stetige) Fortsetzung von f auf die AlexandrowKompaktizierungen von X bzw. Y . Man zeige:
(a) Ist f∞ stetig und ist Y lokalkompakt und Hausdor'sch, so ist f abgeschlossen.
(b) Ist X kompakt, so ist f∞ stetig.
(c) Ist Y kompakt, so ist f∞ genau dann stetig, wenn X kompakt ist.
(d) Sind weder X noch Y kompakt, so ist f∞ genau dann stetig, wenn gilt:
(∗) Für jede kompakte und abgeschlossene Teilmenge K ⊆ Y ist f −1 (K) kompakt.