¨Ubungsblatt 1 23.04.2014 Analysis 3 zu bearbeiten bis 28.04.2014

Übungsblatt 1
Analysis 3
Sommersemester 2014
Prof. Dr. Alan Rendall
23.04.2014
zu bearbeiten bis 28.04.2014
Bitte kreuzen Sie in der zweiten Zeile nachfolgender Tabelle an, welche der Aufgaben Sie bearbeitet haben und
lösen können (die dritte Zeile wird vom Übungsgruppenleiter ausgefüllt)!
Aufgabe
bearbeitet
zu lösen
1
2
3a
3b
4
5a
5b
Notation: In der gesamten Vorlesung und in allen Übungsaufgaben bezeichne A ⊂ B die allgemeine Inklusion
von Mengen, während A $ B für die echte Inklusion stehe. D.h., bei der Schreibweise A ⊂ B ist Gleichheit A = B
erlaubt.
Aufgabe 1 (5 Punkte)
Eine Topologie auf einer nichtleeren Menge M ist ein System von Teilmengen T ⊂ P(M ) von M , mit den folgenden
Eigenschaften:
(i) ∅ ∈ T , M ∈ T ,
(ii) A, B ∈ T =⇒ A ∩ B ∈ T (d.h., T ist abgeschlossen unter endlichen Durchschnitten),
S
(iii) {Aα }α∈I ⊂ T =⇒ α∈I Aα ∈ T (d.h., T ist abgeschlossen unter beliebigen Vereinigungen).
Das Paar (M, T ) heißt topologischer Raum, und die in T enthaltenen Mengen werden als offen bezeichnet.
Erinnerung: Eine Teilmenge U von Rn heißt offen, falls zu jedem Punkt x ∈ U ein ε > 0 existiert, sodass
Bε (x) := {y ∈ Rn | |x − y| < ε} vollständig in U liegt. Das System aller in diesem Sinne offenen Teilmengen des
Rn heiße On .
Zeigen Sie, dass On eine Topologie auf Rn darstellt!
Aufgabe 2 (4 Punkte)
Eine Abbildung f : M → N von einem topologischen Raum (M, T ) in einen topologischen Raum (N, S) heißt
stetig, falls für alle (offenen) Mengen S ∈ S das Urbild f −1 (S) := {x ∈ M | f (x) ∈ S} von S unter f zu T gehört
(also in M offen ist).
Zeigen Sie, dass im Falle M = N = Rn und T = S = On eine Abbildung f : Rn → Rn genau dann stetig in diesem
Sinne ist, wenn sie ε-δ-stetig ist, d.h., wenn für jedes x0 ∈ Rn und jedes ε > 0 ein δ > 0 existiert, sodass für alle
x ∈ Bδ (x0 ) gilt: |f (x) − f (x0 )| < ε!
Aufgabe 3 (5 + 5 Punkte)
Eine Teilmenge K ⊂ M eines topologischen Raums (M, T ) heißt kompakt, falls aus jeder offenen Überdeckung
von K eine endliche Teilüberdeckung ausgewählt werden kann. Genauer ist K kompakt,
falls folgendes gilt:
S
Wann immer {Uα }α∈I ⊂ T eine Familie offener Teilmengen von M ist, sodass K ⊂ α∈I Uα , dann existieren
α1 , . . . , αm ∈ I, sodass K ⊂ Uα1 ∪ · · · ∪ Uαm .
Zeigen Sie, dass eine Teilmenge K ⊂ Rn des topologischen Raums (Rn , On ) genau dann kompakt ist, wenn sie
abgeschlossen und beschränkt ist!
a): kompakt impliziert abgeschlossen und beschränkt, b): abgeschlossen und beschränkt impliziert kompakt
Dabei heißt eine Teilmenge A eines topologischen Raums (M, T ) abgeschlossen, falls ihr Komplement M \A offen
ist.
Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass jede kompakte Teilmenge K ⊂ Rn des topologischen Raums (Rn , On ) folgenkompakt ist (d.h., dass jede Folge in K eine konvergente Teilfolge enthält)! Anschließend folgern Sie, dass
folgenkompakte Teilmengen des (Rn , On ) abgeschlossen und beschränkt sind.
Für die umgekehrte Richtung nehmen Sie an, es gäbe eine offene Überdeckung der abgeschlossenen und beschränkten
Menge K, aus der keine endliche Teilüberdeckung ausgewählt werden kann. Zeigen Sie, dass daraus folgt, dass es
beliebig kleine Teilmengen von K gibt, die ebenfalls nicht von endlich vielen offenen Mengen der ursprünglichen
Überdeckung überdeckt werden und finden Sie einen Widerspruch zur Abgeschlossenheit von K.
Sie dürfen den Satz von Bolzano-Weierstraß verwenden, der besagt, dass in (Rn , On ) jede beschränkte Folge
eine konvergente Teilfolge besitzt und jede Cauchyfolge konvergiert.
1
Aufgabe 4 (5 Punkte)
Für zwei beliebige Mengen A, B definiert man die symmetrische Differenz
A∆B := (A ∪ B)\(A ∩ B).
Zeigen Sie die Gültigkeit folgender Rechenregeln (für beliebige Mengen A, B, C)!
(i) (A∆B)∆C = A∆(B∆C)
(ii) (A∆B) ∩ C = (A ∩ C)∆(B ∩ C)
(iii) Sei nun M eine nichtleere Grundmenge und sei A ⊂ M . Charakterisieren Sie (mit Begründung) diejenigen
Teilmengen B, C und D von M , für die folgendes gilt!
a) A∆B = A
b) A∆C = ∅
c) A∆D = M
Aufgabe 5 (2 + 2 Punkte)
a) Sei M eine nichtleere Menge und (An )n∈N eine Folge von Teilmengen A1 , A2 , · · · ⊂ M von M . Man definiert
lim sup An
n→∞
lim inf An
n→∞
:= {x ∈ M | x ∈ An für unendlich viele n} =
∞ [
∞
\
Ak
n=1 k=n
:= {x ∈ M | es existiert n0 ∈ N, sodass x ∈ An für alle n ≥ n0 } =
∞ \
∞
[
Ak
n=1 k=n
Zeigen Sie, dass für beliebige Folgen (An )n∈N gilt:
lim inf An ⊂ lim sup An !
n→∞
n→∞
Bem.: Bei Gleichheit, sagt man, die Folge (An ) konvergiere und bezeichnet den erhaltenen Wert als ihren Grenzwert:
lim An = lim inf An = lim sup An .
n→∞
n→∞
n→∞
b) Eine Folge (An )n∈N von Teilmengen einer nichtleeren Menge M heißt isoton (oder monoton wachsend ), falls für
alle n ∈ N gilt An ⊂ An+1 . Die Folge heißt antiton (oder monoton fallend ), falls für alle n ∈ N gilt An+1 ⊂ An .
Zeigen Sie, dass jede isotone und jede antitone Folge von Mengen konvergiert und geben Sie jeweils den Grenzwert
an!
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