Analysis - Universität Koblenz · Landau

UNIVERSITÄT KOBLENZ LANDAU, CAMPUS LANDAU
INSTITUT FÜR MATHEMATIK
Prof. Dr. Gunter Dufner
Dr. Dominik Faas
Analysis
Sommersemester 2012
Blatt 3
Abgabetermin: 08.05.2012
Aufgabe 9
(4×1.5=6 Punkte)
Bestimmen Sie für die nachstehenden Folgen jeweils den Grenzwert und weisen Sie die
Konvergenz anhand der ε-n0 -Definition nach. Geben Sie hierfür in Abhängigkeit von einem
beliebigen ε > 0 konkret ein n0 ∈ N an (so dass |an − a| < ε für alle n ≥ n0 gilt).
2
1
3n − 1
sin(n) · cos(n)
n
n2 + 1 n∈N
5n + 2 n∈N
n
3n n∈N
n∈N
Hinweis: Bei der letzten Folge ist die Abschätzung n2 ≤ 2n (n ∈ N, n ≥ 2) hilfreich. Diese
Ungleichung kann leicht mit einem Induktionsbeweis gezeigt werden, Sie können sie hier aber auch
ohne Beweis verwenden.
Aufgabe 10
(1+1.5+1.5=4 Punkte)
Gegeben sei eine Folge (an )n∈N in R und Zahlen a, b ∈ R. Zeigen Sie unter Verwendung
der Definition von Folgenkonvergenz:
lim an = a ⇒
n→∞
lim an = a ⇒
n→∞
lim an = 0 ⇒
n→∞
lim (an + b) = a + b
n→∞
lim (an · b) = a · b
lim an 2 = 0
n→∞
n→∞
Aufgabe 11
(2+3=5 Punkte)
Eine Teilmenge A ⊆ R heißt dicht in R, falls:
∀b ∈ R ∀ε > 0 : A ∩ [b, b + ε] 6= ∅
“Jedes (noch so kleine) Intervall enthält Elemente von A.“
(a) Zeigen Sie, dass Q dicht in R ist.
Hinweis: Finden Sie zu gegebenem ε > 0 ein n ∈ N mit n · ε ≥ 1 und betrachten Sie sämtliche
Punkte der Form nk mit k ∈ Z.
(b) Zeigen Sie, dass Qc = R \ Q dicht in R ist.
Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass für x ∈ R\Q und q ∈ Q stets x+q ∈ R\Q gilt. Betrachten
√
Sie dann die Punkte der Form 2 + nk mit n ∈ N wie in (a) und k ∈ Z.
Aufgabe 12
(1+1+4=6 Punkte)
Eine Zahl C ∈ R heißt obere Schranke einer Menge M ⊆ R, falls x ≤ C für alle x ∈ M gilt.
Die Menge M heißt nach oben beschränkt, falls eine obere Schranke von M existiert. Falls M
nach oben beschränkt ist, nennt man die kleinste obere Schranke S von M das Supremum von
M (man schreibt dann S = sup M ). Falls sup M ∈ M ist, heißt sup M auch Maximum von M .
(a) Definieren Sie analog die Begriffe untere Schranke, nach unten beschränkt, Infimum
und Minimum.
(b) Das Vollständigkeitsaxiom in R (das Sie nicht zu zeigen brauchen) besagt:
Jede nach oben beschränkte Teilmenge von R besitzt ein Supremum in R.
Finden Sie ein Beispiel für eine nach oben beschränkte Teilmenge M ⊆ Q, die in Q
kein Supremum besitzt.
(c) Welche der folgenden Mengen sind nach oben bzw. nach unten beschränkt. Bestimmen
Sie gegebenenfalls Supremum und Infimum und entscheiden Sie, ob es sich jeweils auch
um Maximum bzw. Minimum handelt.
M1 = [−1, 2) ∪ [5, 6)
1
M3 =
n; n ∈ N
,
,
M2 = {−n; n ∈ N}
m+n
M4 =
n ; m, n ∈ N
Diese Übungsblätter finden Sie unter:
https://www.uni-koblenz-landau.de/landau/fb7/mathematik/team/gunter-dufner/material/analysis-sose12