7. ¨Ubungsblatt Mathematik II/2

PD Dr. A. Kalauch
Institut für Analysis
7. Übungsblatt Mathematik II/2
(23.5. – 27.5.2016)
Kompakte Operatoren
1. i) Zeigen Sie: Im unendlichdimensionalen Hilbertraum ist jede kompakte Menge abgeschlossen und beschränkt. Die Umkehrung ist falsch. Zeigen Sie: Die (abgeschlossene) Einheitskugel ist nicht kompakt (aber natürlich beschränkt).
ii) In der Vorlesung wurde die Bemerkung gemacht: Um die Kompaktheit von T zu
zeigen, genügt es, nachzuweisen, dass T [B1 (0)] (= Bild der Einheitskugel) relativ
kompakt ist. Begründen Sie dies.
2. Beim Beweis, dass alle endlichdimensionalen Operatoren aus B(H) kompakt sind,
benötigt man, dass in einem endlichdimensionalen normierten Raum alle beschränkten
Mengen relativ kompakt sind. Beweisen Sie das.
3. Sei T = T ∗ ∈ B(H). Manchmal wird die Aussage, dass T ein vollständiges System
von Eigenvektoren hat, auch so ausgedrückt: Seien Pj , j ∈ N, die (paarweise orthogonalen) Projektoren auf die entsprechenden Eigenräume. Dann gilt:
∞
X
Pj = I.
j=1
Die Frage ist, in welchem Sinne diese unendliche Reihe konvergiert (der Fall, dass
nur endlich viele Summanden auftreten, ist uninteressant).
i) Zeigen Sie: Eine solche Reihe kann nie bezüglich der Operatornorm konvergieren.
Es gilt aber für alle ϕ ∈ H:
lim
n→∞
n
X
Pj ϕ = ϕ.
j=1
Diese Art der Konvergenz (also punktweise“ für alle Elemente des Hilbertraumes)
”
nennt man starke Operatorkonvergenz.
ii) Spezialfall: Sei (ϕn ) eine ONB in H. Dann gilt:
I=
∞
X
|ϕn >< ϕn |
(Dirac-Schreibweise).
n=1
Beweisen Sie die Konvergenz der rechts stehenden Reihe in obigem Sinne.
iii) Zeigen Sie, dass die Normkonvergenz stärker als die starke Operatorkonvergenz
ist, d.h. zeigen Sie: Wenn Tn → T bezüglich der Operatornorm, dann gilt Tn ϕ → T ϕ
in H für alle ϕ ∈ H (das ist ein einzeiliger Beweis). Dass die Umkehrung nicht gilt,
zeigt das obige Beispiel.
4. Zeigen Sie folgenden Satz:
Sei T ein kompakter Operator. Dann existieren eine Folge (sn ) positiver Zahlen
(endlich oder eine Nullfolge) und ONS (ϕn ), (ψn ) so, dass
X
T =
sn hϕn , ·iψn .
(∗)
n
Hinweise:
a) Wenden Sie auf den kompakten positiven Operator T ∗ T das Spektraltheorem an:
Es existieren eine Folge (sn ) positiver Zahlen und ein ONS (ϕn ) mit
X
T ∗T =
s2n hϕn , ·iϕn .
n
b) Man zeige: ψn := T ϕn /sn ist ein ONS. Dann folgt (∗) durch geeignete Entwicklung
von ϕ ∈ H nach dem ONS (ϕn ) (und einem Rest aus dem Kern von T ∗ T ).
5. Finden Sie die Darstellung (∗) aus der vorigen Aufgabe für den Operator T : `2 → `2
(gewichteter Shiftoperator):
T e(n) = tn e(n+1) ,
tn → 0,
e(n) − kanonische ONB in `2 .
Können Sie einen einfachen Beweis dafür geben, dass T kompakt ist?
Vorführaufgabe
10. Aufgabe: Ziel dieser Aufgabe ist der Beweis der Unschärferelation für beschränkte
selbstadjungierte Operatoren. Der Beweis der Heisenbergschen Unschärferelation (für Ortsund Impulsoperator) verläuft fast genauso. Man muss dort auf die Definitionsbereiche
achten, da einer der Operatoren auf jeden Fall unbeschränkt ist.
Man benutze folgende Symbolik: ϕ ∈ H - Zustand (also Einheitsvektor), S, T ∈ B(H)
selbstadjungiert und [S, T ] der Kommutator. Die Erwartungswerte bezüglich S, T seien
Eϕ (S) :=< ϕ, Sϕ >, Eϕ (T ) :=< ϕ, T ϕ >. Die zugehörigen Varianzen sind:
Vϕ (S) := k(S − Eϕ (S)I)ϕk2 ,
Vϕ (T ) := k(T − Eϕ (T )I)ϕk2 .
Dann gilt die folgende Unschärferelation:
Vϕ (S)Vϕ (T ) ≥
1
|hϕ, [S, T ]ϕi|2 .
4
Hinweis: Geschickt ist es, zu beachten, dass [S, T ] = [S − aI, T − bI] für beliebige a, b ∈ R
gilt. Dann a = Eϕ (S), b = Eϕ (T ) setzen.