¨Ubungen zur Vorlesung Gew ¨ohnliche Differentialgleichungen
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Übungen zur Vorlesung Gewöhnliche Differentialgleichungen Wintersemester 2016/17 H. Olbermann Übungsblatt Nr. 7, Abgabe bis 2.12.16, 11.00 Uhr durch Einwurf in das Postfach von H. Olbermann im Raum A 514 Aufgabe 1: GDGL mit linear beschränkter rechter Seite, 5 Punkte Es sei D = (a, b) × RN mit −∞ ≤ a < b ≤ +∞, (x0 , y0 ) ∈ D, f ∈ C0 (D; RN ), und f (x, y) sei lokal Lipschitz-stetig bezüglich y. Weiterhin sei f linear beschränkt, es gebe also ρ, σ ∈ C0 (I), sodass k f (x, y)k ≤ ρ(x)kyk + σ(x) ∀(x, y) ∈ D . Zeigen Sie, dass das maximale Existenzintervall der Lösung des AWP ( 0 y (x) = f (x, y(x)) y(x0 ) = y0 gleich ganz (a, b) ist. Anleitung: Benutzen Sie den Satz über das Randverhalten maximaler Lösungen und die Gronwallsche Ungleichung. Aufgabe 2: Algebraische Struktur, 5 Punkte Zeigen Sie anhand eines Beispiels, dass die Menge der Lösungen einer nichtlinearen GDGL im Allgemeinen keinen reellen Vektorraum/affinen Raum bildet. Muss diese Aussage modifiziert werden, wenn wie in Aufgabe 1 die rechte Seite linear beschränkt ist? Aufgabe 3: Lineare Unabhängigkeit, 5 Punkte Es sei I ein Intervall, λ0 (·; τ, ξ) die maximale Lösung des AWP ( 0 y (x) = A(x)y(x) y(τ) = ξ , mit A ∈ C0 (I; RN×N ). Weiterhin seien µ1 , µ2 , . . . , µN linear unabhängige Lösungen der GDGL y0 (x) = A(x)y(x). Bestimmen Sie die durch die Formel λ0 (x; τ, ξ) = c1 µ1 (x) + · · · + cN µN (x) ∀x ∈ I . gegebenen reelen Zahlen c1 , . . . , cN . Begründen Sie zuerst, warum es ein solches N-tupel (c1 , . . . , cN ) geben muss. Aufgabe 4: Eine Umkehrung, 5 Punkte Gegeben sei ein offenes Intervall I, f ∈ C0 (I × RN ; RN ), und die Funktion f (x, y) sei bezüglich y Lipschitz-stetig. Zeigen Sie: Ist mit je zwei Lösungen µ1 , µ2 ∈ C1 (J; RN ) mit einem geimeinsamen Lösungsintervall J stets auch die Linearkombination c1 µ1 + c2 µ2 mit c1 , c2 ∈ R eine Lösung der GDGL y0 (x) = f (x, y(x)) auf J, dann ist die GDGL homogen linear; d.h., es gibt es ein A ∈ C0 (I; RN×N ), sodass f (x, y) = A(x)y ∀(x, y) ∈ I × RN .
