Test: Lineare Algebra I—Lösungen

18.11.2005
Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg
Test: Lineare Algebra I—Lösungen
Name:
Erreichte Punktezahl:
Scheinpunkte:
Sie können 30 Punkte erreichen. Jeweils drei Testpunkte ergeben einen Scheinpunkt. Es
gibt für falsche Antworten keinen Punktabzug.
Aufgabe 1: (11 Punkte) Geben Sie bei den folgenden Relationen auf Z an, ob sie
reflexiv, symmetrisch oder transitiv sind. Mehrfachnennungen sind möglich.
a steht zu b in Relation wenn . . . reflexiv symmetrisch transitiv
a=b
×
×
×
a b (also a 6= b)
×
a≥b
×
×
a−b=2
a − b ist durch 8 teilbar
×
×
×
a·b>0
×
×
Sie dürfen bei dieser Aufgabe nur maximal 11 Kreuze machen!
Aufgabe 2: (8 Punkte) Welche der folgenden Aussagen sind wahr:
Aussage
Z ist bezüglich der Multiplikation eine Gruppe.
N ist bezüglich der Addition eine Gruppe.
(R, +, ·, 0, 1) ist ein Körper.
Jeder Körper hat unendlich viele Elemente.
In Z10 ist jedes Element 6= 0 bezüglich der Multiplikation invertierbar.
(K(n,n) , +, ·, 0, I) ist für alle n ∈ N ein Körper.
(K(n,n) , +, ·, 0, I) ist für alle n ∈ N ein Ring.
(K(n,n) , +, ·, 0, I) ist für alle n ∈ N ein kommutativer Ring.
wahr falsch
×
×
×
×
×
×
×
×
Aufgabe 3: (6 Punkte) Markieren Sie bitte, welcher der folgenden Fälle für lineare
Gleichungssysteme Ax = b mit 2 Gleichungen und 3 Unbestimmten eintreten kann:
ist möglich
Ax = 0 hat keine Lösung.
Ax = 0 hat nur eine Lösung.
Ax = 0 hat unendlich viele Lösungen.
Ax = b hat keine Lösung.
Ax = b hat nur eine Lösung.
Ax = b hat unendlich viele Lösungen.
ist nicht möglich
×
×
×
×
×
×
Aufgabe 4: (4 Punkte) Berechnen Sie die folgenden Zahlen modulo 11, das heißt geben
Sie eine Zahl x ∈ {0, 1, . . . , 10} an mit
• x = 3 · 7 = 10
• x = 9+8 =6
• x = 4−6 =9
• 3 · x = 1,
x=4
Aufgabe 5: (1 Punkt) Geben Sie eine knappe Begründung, warum Z4 mit der üblichen
Addition und Multiplikation modulo 4 kein Körper ist.
2 · 2 = 0, aber in einem Körper ist das Produkt von zwei Elementen 6= 0 wieder 6= 0.