Lineare Algebra und Analytische Geometrie II

Dr. F. Stoll
5. Übungsblatt zur Vorlesung
Prof. Dr. R. Dipper
Lineare Algebra und Analytische Geometrie II
Sommer 2013
Aufgabe P 10.
n!
Für nichtnegative Zahlen n ≥ k sei nk = k!(n−k)!
mit 0! = 1. Man sieht leicht, dass n+1
=
k+1
n
n
n
+ k+1 gilt (mit k = 0, falls n < k).
k
(a) Zeigen sie, dass für nichtnegative Zahlen n ≥ k die Zahl nk natürlich ist.
n
(b) Sei K ein Körper.
Der
Binomialkoeffizient
läßt sich als Element von K betrachten,
k
wenn man nk = 1K + · · · + 1K setzt. Zeigen Sie, dass für x, y ∈ K gilt:
|
{z
}
(nk)− mal
n
(x + y) =
n X
n
k=0
k
xn−k y k
(c) Nun sei p eine Primzahl und K ein Körper der Charakteristik p. Zeigen Sie, dass die
Abbildung ϕ : K → K : x 7→ xp ein Ringhomomorphismus ist, d. h. für x, y ∈ K gilt
ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y) und ϕ(x · y) = ϕ(x) · ϕ(y).
Ist diese Aussage auch richtig, wenn K = Q ist?
Aufgabe P 11.
Sei p ∈ R[t] ein reelles Polynom. In der Vorlesung wurde gezeigt, wie man die (komplexwertigen)
Lösungen der Differenzialgleichung
p(D)(y) = 0
bekommt. In der Realität sind aber Funktionen von R → R gesucht.
(a) Sei λ eine Nullstelle von p. Zeigen Sie, dass λ ebenfalls eine Nullstelle von p ist, und zwar
von derselben Vielfachheit.
(b) Sei y eine Lösung der Differenzialgleichung und y = y1 + iy2 , wobei y1 und y2 reelle
Funktionen sind. Zeigen Sie, dass auch y1 und y2 Lösungen der Differenzialgleichung
sind.
(c) Sei λ eine nicht reelle Nullstelle von p (und damit auch λ) der Vielfachheit k. Dann sind
tj eλt , tj eλt für j = 0, . . . , k − 1 Lösungen der Differenzialgleichung. Sei U der von diesen
Funktionen aufgespannte Unterraum. Finden Sie eine Basis von U , die aus reellwertigen
Funktionen besteht.
Aufgabe P 12.
Sei K ein endlicher Körper, in dem jedes Element eine Quadratwurzel besitzt, d. h. zu jedem
λ ∈ K gibt es ein µ ∈ K mit λ = µ2 . Zeigen Sie, dass die Charakteristik von K gleich 2 ist.
Hinweis: Betrachten Sie die Abbildung K → K : µ 7→ µ2 . Diese Abbildung nennt man
Frobenius-Automorphismus.
5. Übungsblatt
Lineare Algebra und Analytische Geometrie
Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung):
Aufgabe H 14. 3 Punkte
Finden Sie mit Hilfe des Beweises von Lemma 11.2-1 ganze Zahlen a, b ∈ Z, sodass 6 =
30 · a + 42 · b ist, und zwar ohne zu raten oder auszuprobieren!
Aufgabe H 15. 2 Punkte
Finden Sie die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung
y (4) − 2y (3) − 8y 00 + 18y 0 − 9y = 0.
Aufgabe H 16. 5 Punkte
Seien V und W Vektorräume und f : V → W eine lineare Abbildung. Seien U ≤ V und
X ≤ W Unterräume. Zeigen Sie:
(a) f (f −1 (X)) = X ∩ im f
(b) f −1 (f (U )) = U + ker f .