1. Welche der folgenden Polynome sind separabel? f (x) = x3 − x2 − x + 1 in C[x]. f (x) = x7 − 7x2 + 14 in Q[x]. f (x) = xp − 1 in (Z/pZ)[x], wobei p eine Primzahl ist. √ 2. Sei K = Q( 2, ζ3 ), wobei ζ3 eine 3-te primitive Einheitswurzel ist. Welche der folgenden Elemente sind primitiv für die Körpererweiterung K/Q? √ 2ζ3 . ζ5 . ζ3 . 3. Welche der folgenden Aussagen sind richtig für eine endliche Körpererweiterung L/K? Wenn L/K eine Galoiserweiterung ist, dann ist L ein Zerfällungskörper eines Polynoms f (x) ∈ K[x]. Wenn L/K eine normale Körpererweiterung ist, dann ist die Erweiterung L/K separabel. Wenn L/K eine separable Körpererweiterung ist, dann ist die Erweiterung L/K normal. 4. Sei L/K eine Galoiserweiterung. Welche der folgenden Aussagen sind richtig für jeden Zwischenkörper K ⊆ F ⊆ L? L/F ist eine Galoiserweiterung. F/K ist eine Galoiserweiterung. F/K ist separabel. 5. Sei L/K eine Galoiserweiterung vom Grad 15 und sei F Fixkörper einer Untergruppe H ≤ Gal(L/K) der Ordnung ord(H) = 3. Welche der folgenden Aussagen sind richtig? [F : K] = 3. [F : K] = 5. [L : F ] = 5. 6. Gegeben sei ein irreduzibles Polynom f (x) ∈ Q[x] mit einer Nullstelle α in C. Welche der folgenden Aussagen sind richtig? Für alle Nullstellen β von f (x) existiert ein Körperhomomorphismus σ : Q(α) −→ C mit σ(α) = β. Für jeden Körperhomomorphismus σ : Q(α) −→ C ist σ(α) eine Nullstelle von f (x). Für alle Nullstellen β von f (x) existiert ein σ ∈ Aut(Q(α)/Q) mit σ(α) = β. 7. Für welche der folgenden Gruppen G gibt es einen zyklotomischen Körper Q(ζ) mit G∼ = Gal(Q(ζ)/Q)? G = Z/2Z. G = Z/3Z. G = Z/4Z. 8. Welche der folgenden Gruppen sind auflösbar? (R∗ , · ). Die Untergruppe erzeugt von i und j von (H∗ , · ) (Quaternionen). A5 . 9. Welche der folgenden Zahlen lassen sich mit Zirkel und Lineal aus 0 und 1 konstruieren? e2πi/9 . e2πi/12 . √ √ 2 + 3. 10. Es sei der Winkel α = konstruierbar? β= β= β= π 7 gegeben. Welche der folgenden Winkel β sind aus α mit Zirkel und Lineal π . 14 2π . 7 π . 18 Bewertungschema: Punkte: Note: 1 Punkt wenn alle Antworten einer Frage richtig sind, sonst 0 Punkte 10, 9 8, 7 6, 5 4, 3 2, 1 0 1 2 3 4 5 6