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Einführung in die Funktionalanalysis
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MAT.258
Sommersemester 2016
Übungsblatt für 20. Juni
Aufgabe 47. Sei (X, k.k) ein normierter Raum und K, L ⊆ X disjunkte abgeschlossene
konvexe Teilmengen, K oder L kompakt. Zeigen Sie, dass ein stetiges Funktional x∗ ∈ X ∗
existiert, für das
sup Re x∗ (x) < inf Re x∗ (x)
x∈L
x∈K
gilt.
Aufgabe 48. Zeigen Sie, dass jede schwach konvergente Folge in ℓ1 auch bezüglich k.k1
konvergiert und begründen Sie, warum trotzdem die Normtopologie und die schwache Topologie auf ℓ1 nicht identisch sein können.
Hinweis: Es genügt, schwache Nullfolgen zu betrachten. Angenommen, xn konvergiere
schwach gegen 0 und gleichzeitig gelte kxn k1 ≥ ε > 0 für unendlich viele n. Konstruieren Sie (gegebenenfalls nach Übergang zu einer Teilfolge) eine steigende Folge von Zahlen
a(n) ∈ N, sodass
a(n−1)
X xn (k) ≤ 1
∀n :
n
k=1
und
a(n)
X
xn (k) ≥ kxn k1 − 2
n
a(n−1)+1
gilt. Dann betrachten Sie y ∈ ℓ∞ definiert durch y(k) = sign xn (k) für a(n − 1) < k ≤ a(n)
und rechnen nach, dass
gilt.
hy, xn i ≥ kxn k1 − 4
n
Aufgabe 49. Seien q1 und q2 Halb-Normen auf einem (reellen oder komplexen) Vektorraum X und ρ ein lineares Funktional auf X mit der Eigenschaft
∀ x ∈ X : ρ(x) ≤ q1 (x) + q2 (x).
Zeigen Sie, dass ρ in der Form ρ1 + ρ2 ausgedrückt werden kann, wobei ρj ∈ X ∗ und
∀ x ∈ X : ρj (x) ≤ qj (x) (j = 1, 2).
Hinweis: Definieren Sie eine Halb-Norm p auf dem Vektorraum X × X und ein lineares
Funktional σ0 auf dem diagonalen“ Unterraum {(x, x) : x ∈ X} von X × X via
”
p (x, y) = q1 (x) + q2 (y), σ0 (x, x) = ρ(x).
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Aufgabe 50. (i) Sei X ein Banachraum. Zeigen Sie, dass X separabel ist, wenn X ∗ separabel ist.
(ii) Zeigen Sie, dass ein reflexiver Banachraum genau dann separabel ist, wenn sein Dualraum separabel ist.
Hinweis zu (i): Sei {ρn } eine abzählbare dichte Teilmenge der Einheitssphäre {ρ ∈ X ∗ :
kρk = 1} der Einheitskugel B1∗ (0) ⊂ X ∗ und wählen Sie für jedes n ∈ N ein xn ∈ B1 (0),
sodass |ρn (xn )| > 1/2. Dann zeigen Sie, dass X die abgeschlossene lineare Hülle von {xn }
ist.
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