Ausgewählte Themen der Algebra für LA

Ausgewählte Themen der Algebra für
LA
LVA 405.730
C. Fuchs
Inhaltsübersicht
30.06.2016
Die Vorlesungsprüfung ist schriftlich (90 Minuten) und richtet sind nach dem Vorlesungsstoff.
Hier eine Liste von möglichen Prüfungsfragen aufgelistet in der Reihenfolge der zugehörigen
Kapitel:
1. Wie lauten die zulässigen Operationen zur Konstruktion mit Zirkel und Lineal?
2. Begründe, warum die Menge der konstruierbaren reellen Zahlen ein Körper ist.
3. Welche Eigenschaften hat dieser Körper?
4. Formuliere und beweise den Strahlensatz.
5. Beweise die Formel h2 = pq.
6. Zeige, dass ein Körper ein Integritätsbereich ist. Was versteht man darunter?
7. Definiere die Begriffe Körper, Unterkörper und Körperhomomorphismen.
8. Was versteht man unter einem Ideal in einem Ring. Nenne Beispiele.
9. Was folgt aus dem Idealbegriff für Körper?
10. Was folgt aus dem Idealbegriff für Körperhomomorphismen?
11. Erkläre die Begriffe Oberkörper und Körpererweiterung.
12. Was versteht man unter dem Grad einer Körpererweiterung? Welche Vektorraumstruktur
verbirgt sich dahinter?
13. Was besagt der Gradsatz? Beweis?
14. Was versteht man unter dem Primkörper? Welche Primkörper kommen in Frage und
warum?
15. Was versteht man unter der Charakteristik eines Körpers? Welche Zahlen kommen dafür
in Frage und warum?
16. Zeige, dass endliche Körper stets nur Primzahlpotenz viele Elemente enthalten.
√ √
17. Gib unterschiedliche Beschreibungen für den Körper Q( 2, 3) an.
18. Wann heißt eine Zahl algebraisch bzw. transzendent.
19. Gib einige Beispiele für algebraische Zahlen.
20. Gib Beispiele für transzendente Zahlen.
21. Was versteht man unter dem Minimalpolynom?
22. Was ist der Grad einer algebraischen Zahl?
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23. Gib andere Beschreibungen für das Minimalpolynom an. Warum handelt es sich um dasselbe Polynom?
24. Zeige, dass aus [K(α) : K] < ∞ die Algebraizität von α folgt.
25. Wie sieht K(α) für ein algebraisches α aus?
26. Formuliere und beweise das Kriterium für Konstruierbarkeit mit Zirkel und Lineal.
27. Nenne Beispiele für die klassischen Probleme der Antike.
28. Warum ist die Würfelverdoppelung mit Zirkel und Lineal nicht möglich?
29. Warum ist die Quadratur des Kreises mit Zirkel und Lineal nicht möglich?
30. Warum ist im Allgemeinen die Winkeldreiteilung mit Zirkel und Lineal nicht möglich?
31. Zeige, dass ein rechter Winkel mit Zirkel und Lineal gedreiteilt werden kann.
32. Wann ist die Konstruktion des regelmäßigen n-Ecks mit Zirkel und Lineal möglich?
33. Zeige, dass die Winkeldreiteilung mittels Origami möglich ist.
34. Erkläre warum die Orgiami-Konstruktion für die Winkeldreiteilung funktioniert.
35. Wie ist der Restklassenring K[x]/(f ) definiert? Gibt die Operationen an und zeige die
Wohldefiniertheit.
36. Zeige, dass K[x]/(f ) genau dann ein Körper ist, wenn f irreduzibel ist.
37. Zeige, dass für ein über K algebraisches α gilt K(α) ∼
= K[x]/(µα,K ).
38. Erkläre den Begriff des Restklassenringes.
39. Formuliere und beweise den Satz von Kronecker.
40. Wann nennt man einen Körper algebraisch abgeschlossen?
41. Wie können Polynome mit Koeffizienten aus einem algebraisch abgeschlossenen Körper
zerlegt werden? Beweis.
42. Was versteht man unter dem algebraischen Abschluss eines Körpers in einem Oberkörper?
43. Zeige, dass der algebraische Abschluss ein Körper ist.
44. Zeige, dass der algebraische Abschluss selbst algebraisch abgeschlossen ist, falls der Oberkörper
diese Eigenschaft hat.
45. Gib mindestens zwei verschiedene Beispiele für algebraisch abgeschlossene Körper.
46. Wie lassen sich quadratische Gleichungen graphisch lösen?
47. Leite die Lösungsformel für quadratische Gleichungen her.
48. Leite die Lösungsformel von Cardano für kubische Gleichungen her.
49. Was versteht man unter der quadratischen Resolvente?
50. Wie lautet die reduzierte kubische Gleichungen und wie erhält man sie?
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51. Benenne Probleme bei der Anwendung der Lösungsformel von Cardano?
52. Bestimme die Lösungen in C.
53. Erkläre wie anhand der Diskriminante das Lösungsverhalten beschrieben werden kann.
54. Was ist der Casus irreduzibilis und wie wird er behandelt?
55. Was ist eine biquadratische Gleichung und wie wird sie gelöst?
56. Was ist eine symmetrische quartische Gleichung und wie wird sie gelöst?
57. Was ist die reduzierte quartische Gleichung und wie wird die allgemeine Form darauf
zurückgeführt?
58. Leite die Auflösungsformel von Ferrari her.
59. Gib Beispiele für spezielle Gleichungen höheren Grades, die mit Formeln gelöst werden
können?
60. Was versteht man unter der allgemeinen Gleichungen vom Grad n?
61. Was versteht man unter der reinen Gleichung vom Grad n?
62. Was versteht man unter folgenden Begriffen: Radikal, Radikalerweiterung, auflösbar durch
Radikale?
63. Wie lautet der Satz von Abel(-Ruffini)?
64. Definiere die natürlichen Zahlen (inklusive algebraischer Operationen und Ordnungsrelation).
65. Welche Eigenschaften erfüllen die natürlichen Zahlen?
66. Definiere die ganzen Zahlen (inklusive algebraischer Operationen und Ordnungsrelation).
67. Welche Eigenschaften erfüllen die ganzen Zahlen?
68. Definiere die rationalen Zahlen (inklusive algebraischer Operationen und Ordnungsrelation).
69. Welche Eigenschaften erfüllen die rationalen Zahlen?
70. Definiere die reellen Zahlen (inklusive algebraischer Operationen und Ordnungsrelation).
71. Wann nennt man eine rational Zahlenfolge konvergent, Cauchy-Folge, Nullfolge?
72. Zeige, dass die Summe und das Produkt von Cauchy-Folgen wieder Cauchy-Folgen sind.
73. Wie ist die Ordnung auf R definiert?
74. Welche Eigenschaften erfüllen die reellen Zahlen?
75. Gib eine Definition der komplexen Zahlen (inklusive der algebraischen Operationen).
76. Zeige, dass C nicht angeordnet werden kann. Präzisiere dabei die Frage.
77. Was versteht man unter der komplexen Konjugation und welche Eigenschaften erfüllt sie?
3
78. Was versteht man unter der Polarkoordinatendarstellung einer komplexen Zahl?
79. Wie lautet die Formel von Moivre?
80. Zeige, dass die Gleichung xn − 1 = 0 in C genau n verschiedene Nullstellen besitzt.
81. Gib eine weitere Definition für C, welche sich konzeptionell von der Definition als Paare
komplexer Zahlen unterscheidet.
82. Wie lautet der Fundamentalsatz der Algebra?
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