Blatt 5

Technische Universität München
Lehrstuhl für Technische Elektrophysik
Tutorübungen zu Elektromagnetische Feldtheorie
(Prof. Wachutka)
Wintersemester 2016/2017
Blatt 5
11. Aufgabe:
(28.11.2016 - 02.12.2016)
Leiteranordnung mit Zylindersymmetrie
Eine zylindersymmetrische Anordnung hat die in der untenstehenden Skizze dargestellte Bemaßung und ist in zwei Bereiche unterteilt. Im Bereich I (0 ≤ r ≤ r1 und 0 ≤ z ≤ h) befindet
sich ein Leiter mit dem Radius r1 , der Länge h, der elektrischen Leitfähigkeit σ1 und der magnetischen Permeabilität µ1 . In diesem Leiter existiert eine homogene elektrische Stromdichte
~j = j0 · ~ez mit j0 = const. und j0 > 0.
Im Bereich II (r1 < r ≤ r2 und 0 ≤ z ≤ h) befindet sich ein nicht-leitendes Medium (σ2 = 0)
mit der magnetischen Permeabilität µ2 . An der Grenzfäche bei r = r1 existieren weder Grenzflächenladungen (σsurf = 0) noch fließen Grenzflächenströme (~i = 0). Die Länge h der Anordnung ist sehr groß und die elektrische Leitfähigkeit σ1 derart, dass Streufelder vernachlässigt
werden können.
~ 2 (r) für den Bereich II (r1 < r ≤ r2 ) kann in ZylinDas elektromagnetische Vektorpotential A
derkoordinaten (r, ϕ, z) angenommen werden als:
~ 2 (r) = −K · ln r · ~ez für r1 < r ≤ r2
A
r1
Dabei ist K eine reele Konstante.
~ 2 (r) die magnetische Flussdichte
a) Berechnen Sie aus dem gegebenen Vektorpotential A
~ 2 (r) und die magnetische Feldstärke H
~ 2 (r) im Bereich II.
B
b) Das Magnetfeld im Bereich II wird durch die elektrische Stromdichte im Leiter erzeugt.
Stellen Sie die Konstante K in Abhängigkeit von j0 und µ2 dar.
~ 1 (r)
c) Berechnen Sie für den Bereich I aus der gegebenen Stromverteilung ~j die Felder H
~ 1 (r) und das Vektorpotential A
~ 1 (r).
und B
Hinweis: Das Vektorpotential muss an der Grenzfläche bei r = r1 stetig sein!
1
~
d) Skizzieren Sie den Betrag der magnetischen Feldstärke |H(r)|
im Bereich 0 ≤ r ≤ r2 .
Beschriften Sie in Ihrer Skizze die Positionen r1 und r2 auf der r-Achse!
e) Bestimmen Sie mit Hilfe des lokalen ohmschen Gesetzes aus der Stromdichte ~j das elek~ im Innenleiter.
trische Feld E
~
f) Berechnen Sie den Poynting-Vektor S(r)
im Innenleiter (Bereich I). Geben Sie Betrag
~
und Richtung von S(r)
an!
~ Wie vergleicht sich das Erg) Berechnen Sie die Divergenz des Poynting-Vektors div(S).
~ Interpretieren Sie diesen
gebnis mit der ohmschen Verlustleistungsdichte pohm = ~j · E?
Zusammenhang.
12. Aufgabe:
Elektrostatisches Randwertproblem
Gegeben sei nebenstehende Anordnung bestehend
aus drei leitenden Körpern Ω0 , Ω1 und Ω2 . Das
Gebiet Ω dazwischen ist ein Dielektrikum mit
Permittivität ε. Die Berandungen der drei Körper
bilden drei Äquipotentialflächen ∂Ω0 , ∂Ω1 und
∂Ω2 , auf denen jeweils die Potentiale V0 , V1 und V2
vorgegeben sind.
¶W0
¶W1
¶W2
Die Potentialverteilung Φtot (~r) in der gesamten Anordnung ist gegeben durch die Superposition von
Grundlösungen:
Φtot (~r) =
2
X
Vk · Φk (~r) für ~r ∈ Ω
k=0
a) Welche Differentialgleichung müssen die Grundlösungen Φk (~r) erfüllen?
b) Welche Randbedingungen gelten zur Berechnung der Grundlösungen Φk an den Berandungen ∂Ωk der Körper?
c) Skizzieren Sie in getrennten Skizzen qualitativ die Äquipotentiallinien der Grundlösungen
Φ0 (~r), Φ1 (~r) und Φ2 (~r).
d) Sind die Grundlösungen Φ0 (~r), Φ1 (~r) und Φ2 (~r) abhängig von der geometrischen Lage
der Körper Ω0 , Ω1 und Ω2 ?
e) Sind die Grundlösungen linear unabhängig?
2