Theoretische Physik II: Quantenmechanik

Technische Universität Berlin – Institut für Theoretische Physik
27.04.2017
Prof. Dr. Harald Engel
Benjamin Lingnau, Jan Totz, Maria Zeitz, Manuel Katzer, Willy Knorr
2. Übungsblatt – Theoretische Physik II: Quantenmechanik
Abgabe: Bis Mo. 08.05.2017 12:00 im Briefkasten am Hintereingang des ER-Gebäudes
Bei den schriftlichen Ausarbeitungen werden sehr ausführliche Kommentare zum Vorgehen erwartet. Dafür gibt es auch Punkte! Bitte das Deckblatt von der Homepage verwenden! Die Abgabe
erfolgt in Dreiergruppen.
Aufgabe 4 (20 Punkte): Potential-Streuung
Wir betrachten ein stückweise stetiges Potential V (x) und die Lösungen der Schrödingergleichung
in den jeweiligen Intervallen,


a1 eik1 x + b1 e−ik1 x ,
−∞ < x ≤ x1
V
,


1




ik
x
−ik
x
2
2


a2 e
+ b2 e
,
x 1 < x ≤ x2
 V2 ,

...
...
...
...
V (x) =
ψ(x) =
,


ik
x
−ik
x


N
N
aN e
+ bN e
,
xN −1 < x ≤ xN
 VN





VN +1
aN +1 eikN +1 x + bN +1 e−ikN +1 x ,
xN < x < ∞
wobei
kj =
q
(2m/~2 ) (E − Vj ).
Wir betrachten den Fall E > V1 , VN +1 , so dass k1 und kN +1 reelle Wellenvektoren sind und ψ(x)
laufende, ebene Wellen außerhalb des Streugebiets [x1 , xN ] beschreiben.
Wir wollen nun Lösungen der Schrödingergleichung unter der Streubedingung bN +1 = 0 bestimmen, d.h. wir suchen Lösungen, die auf der rechten Seite des Streugebiets nach rechts laufen,
aber keinen Anteil aufweisen, der von rechts einläuft.
1. Benutzen Sie die Stetigkeit von ψ(x) und seiner Ableitung ψ 0 (x) und zeigen Sie, dass sich
zwei Gleichungen ergeben, die sich in der Matrix-Form
ai
1
u1 = T u2 , ui =
, i = 1, 2,
bi
mit
1
T =
2k1
1
(k1 + k2 )ei(k2 −k1 )x1
(k1 − k2 )ei(k2 +k1 )x1
(k1 − k2 )e−i(k1 +k2 )x1
(k1 + k2 )e−i(k2 −k1 )x1
schreiben lassen.
2. Zeigen Sie, dass sich die Wellenfunktion auf der linken Seite mit der auf der rechten Seite
des Streugebiets mit Hilfe der Transfer-Matrix M verbinden lässt, wobei
u1 = M uN +1 ,
M = T 1 T 2 ...T N
und die T i sowie uN +1 analog zu oben zu definieren sind.
3. Benutzen Sie die Kontinuitätsgleichung
∂
ρ(x, t) + div j(x, t) = 0
∂t
und die Stromdichte
j(x, t) =
~
[ψ ∗ (x, t) ∇ψ(x, t) − ψ(x, t) ∇ψ ∗ (x, t)]
2im
1
2. Übung SoSe17
und zeigen Sie
j(x > xN ) =
j(x < x1 ) =
~
~kN +1
Im(ikN +1 |aN +1 |2 ) = |aN +1 |2
m
m
h
i ~k
~
1
Im (a∗1 e−ik1 x + b∗1 eik1 x )ik1 (a1 eik1 x − b1 e−ik1 x ) =
[|a1 |2 − |b1 |2 ].
m
m
Die Stromdichte j(x > xN ) beschreibt eine Fluß rechts vom Streugebiet nach x → ∞. Auf
der anderen Seite ist j(x < x1 ) auf der linken Seite die Differenz eines einfließenden, positiven Stroms (einfallende Teilchen) und eines ausfließenden, negativen Stroms (reflektierte
Teilchen).
4. Der Transmissions-Koeffizient T und der Reflexions-Koeffizient R sind definiert
als das Verhältnis vom Strom der transmittierten bzw. reflektierten Welle zum Strom der
einfließenden Welle
2
b1 kN +1 aN +1 2
.
T :=
,
R
:=
a1 k 1 a1 Zeigen Sie damit, dass
kN +1 1
,
T =
k1 |M11 |2
und T + R = 1
M21 2
R = M11 gilt, wobei Mij die Einträge der Transfer-Matrix M sind.
Vorlesung:
• Dienstag 8:30 Uhr – 10:00 Uhr im EW 202.
• Mittwoch 8:30 Uhr – 10:00 Uhr im EW 202.
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