4. ¨Ubungsblatt, Mathematische Kontrolltheorie I - Uni

Prof. Dr. Lars Grüne
Mathematisches Institut
Universität Bayreuth
Wintersemester 2008/2009
4. Übungsblatt, Mathematische Kontrolltheorie I
Abgabe: 11.11.2008 in der Vorlesung
Aufgabe 1: Gegeben sei ein Matrizenpaar (A, B) mit dimhA | im Bi = r < n. Es sei
v1 , . . . , vr eine Basis von hA | im Bi, die durch Vektoren w1 , . . . , wn−r zu einer Basis des Rn
e = T −1 AT
ergänzt wird und es sei T = (v1 , . . . , vr , w1 , . . . , wn−r ) ∈ Rn×n . Schließlich sei A
−1
e
und B = T B.
Beweisen Sie:
e
e
(i) Für die Lösungen z(t; t0 , z0 , u) des Kontrollsystems ż(t) = Az(t)
+ Bu(t)
gilt
x(t; t0 , x0 , u) = T z(t; t0 , T −1 x0 , u),
wobei x(t; t0 , x0 , u) die Lösungen von ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) bezeichnet.
e und B
e haben die Form
(ii) Die Matrizen A
A1 A2
B1
e
A=
, B=
0 A3
0
mit A1 ∈ Rr×r , A2 ∈ Rr×(n−r) , A3 ∈ R(n−r)×(n−r) , B1 ∈ Rr×m .
(iii) Das Paar (A1 , B1 ) aus (ii) ist vollständig kontrollierbar.
Aufgabe 2: Gegeben sei das Kontrollsystem ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) mit
1 0
1
.
A=
,
B=
0 2
1
(i) Beweisen Sie, dass für die Kontrollfunktion
u(t), t ≤ 1
u1 (t) =
0,
t>1
mit u(t) aus Aufgabe 1 von Blatt 3 die Gleichung x(t; x0 , u1 ) = 0 für x0 = (1, 0)T und alle
t ≥ 1 gilt.
(ii) Simulieren Sie die Lösung x(t; x0 , u1 ) numerisch (mit matlab, maple oder einem
numerischen Verfahren Ihrer Wahl) für t ∈ [0, T ] mit T = 1, 2, 5, 20, 50 und stellen Sie die
Lösungskomponenten x1 (t), x2 (t) in Abhängigkeit von t grafisch dar.
Erfüllen die numerisch berechneten Lösungen Ihre Erwartungen?
Vorlesungs–Homepage:
http://www.math.uni-bayreuth.de/∼lgruene/kontrolltheorie0809/