01110012 Bestimmen Sie in Z3 alle Lösungen des

01110012
Bestimmen Sie in Z3 alle Lösungen des Gleichungssystems
w + 2x + 2y + z = 1
2w + z = 1
w + x + 2y = 1.
Matrixform:


1 2 2 1 1
 2 0 0 1 1 .
1 1 2 0 1
Die

0
1
0
zweite Zeile wird zur ersten und dritten addiert und danach mit Zwei multipliziert:

2 2 2 2
0 0 2 2 .
1 2 1 2
Addiere

0 0
1 0
0 1
die dritte Zeile zur ersten:

1 0 1
0 2 2 .
2 1 2
Addiere

0 0
1 0
0 1
die erste Zeile zur dritten:

1 0 1
0 2 2 .
0 1 0
Jetzt wird z als freie Variable gesetzt gesetzt, und man erhält
y = 1, w = 2 + t, x = 2t und z = t. Die Lösungen sind damit
   
 
w
2
1
 x  0
2
  =   + t  .
 y  1
0
z
0
1
Da t nur die Werte 0, 1, 2 annehmen kann, sind alle Lösungen
 
 
 
1
0
2
1
2
0
 

 
~v1 = 
 1 , ~v2 =  1  und ~v3 =  1 .
2
1
0
02020021
√
√
√
Zeigen Sie, dass das multiplikative Inverse von Zahlen der Form q = a + b 2 + c 3 + d 6, a, b, c, d ∈ Q,
q 6= 0, wieder diese Form hat.
√
√
√
√
√
√
Tipp: a + b 2 + c 3 + d 6 = (a + b 2) + 3(c + d 2).
√
Sei K1 = {a + b 2 | a, b, ∈ Q}.
Dann ist schon bekannt, dass für q ∈ K2 , q 6= 0 auch
1
∈ K1 ist:
q
√
1
−b √
1
1
a−b 2
√ = 2
= 2
+ 2
=
2.
2
2
q
a − 2b
a − 2b
a − 2b2
a+b 2
√
√
√
1
Zeige nun, dass mit K2 = {q = a + b 2 + c 3 + d 6 | a, b, c, d ∈ Q} für q 6= 0 auch ∈ K2 ist:
q
√
√ √
1
1
(a + b 2) − (c + d 2) 3
1
√
√
√ =
√
√ √ =
√
√
=
q
a+b 2+c 3+d 6
(a + b 2) + (c + d 2) 3
(a + b 2)2 − 3(c + d 2)2
√
= (a + b 2)
√ √
1
1
√
√
√
√ .
− (c + d 2) 3
2
2
2
(a + b 2) − 3(c + d 2)
(a + b 2) − 3(c + d 2)2
Die Brüche sind der Rechnung oben aus K1 , und Ausmultiplizieren ergibt, dass der gesamte Ausdruck in
K2 liegt.