Physikalische Chemie II, WS 2013/14 – ¨Ubung 6 Teilchen

Physikalische Chemie II, WS 2013/14 – Übung 6
Teilchen im 3-dimensionalen Kasten mit unendlich hohen Wänden
Wir betrachten einen kubischen Kasten im Bereich: 0 ≤ x ≤ l, 0 ≤ y ≤ l 0 ≤
z ≤ l; innerhalb des Kastens verschwindet das Potential, außerhalb ist es unendlich hoch. Im Kasten lautet die Schrödingergleichung:
1 ∂2
∂2
∂2
−
ψ(x, y, z) = Eψ(x, y, z)
(1)
+
+
2 ∂x2 ∂y 2 ∂z 2
Suchen Sie Lösungen durch einen Ansatz in der Form der Separation der Variablen:
ψ(x, y, z) = X(x)Y (y)Z(z)
(2)
Zeigen Sie: Durch diesen Ansatz geht die Schrödingergleichung über in:
1 ∂ 2Y
1 ∂ 2Z
1 ∂ 2X
+
+
= −2E
X ∂x2
Y ∂y 2
Z ∂z 2
(3)
Schließen Sie daraus: X(x) genügt einer Differentialgleichung der Form:
1 ∂ 2X
= −Cx
X ∂x2
(4)
mit einer unbekannten Konstanten Cx . Analoge Gleichungen gelten für Y (y) und
Z(z). Suchen Sie Lösungen von Gl. (4), welche die Randbedingungen erfüllen.
Zeigen Sie: Die Lösungen für ψ(x, y, z) haben die Form:
ψ = A sin(nx πx/l) sin(ny πy/l) sin(nz πz/l)
(5)
wobei die drei Quantenzahlen nx , ny , nz natürliche Zahlen sind. Berechnen Sie
das Energiespektrum. Gibt es Energien, zu denen mehr als ein Quantenzustand
gehört?
Parität bei Kugelflächenfunktionen
−
−
Die Inversion ist definiert als die Transformation: →
x → −→
x . Überlegen Sie: Auf
der Kugeloberfläche entspricht dem die Transformation: ϑ → π − ϑ,
φ →
m
π + φ. Suchen Sie eine Tabelle mit den Yl (ϑ, φ) und verifizieren Sie, daß die
Funktionen zu l = 0, 1, 2 entweder die Parität −1 oder +1 haben; die Parität ist
der Eigenwert bezüglich der Inversion. Gibt es eine Gesetzmäßigkeit?